IMPOSSIBILITÉ DE GROUPES DE POINTS SUR UNE SURFACE ALGÉBRIQUE. [\'J

A chaque intégrale de différentielle totale de première espèce de la surface F correspond une intégrale de différentielle totale de première espèce de la surface / et inversement. 11 en résulte que la surface/ possédera in intégrales de différentielles totales de première espèce linéairement indépendantes

J P/ dx H- Q,- dy

(i) / Fidx-^Çlidy . (t = I, 2, .. ., 2/1),

les P et Q étant rationnelles en x, y qI z\ ces in intégrales auront 4 n périodes. On voit de plus aisément, à cause de la symétrie des ,^ par rapport à (^i, /i,^i), . . ., (^,n yn, ^n)j que le groupe des n points sera donné par les in équations

(2 ) ' ^ PK^/o Vh, -A.) dxu -h QK^A, y/n Zk) dy,, = dui

3. Ceci posé, montrons que la surface / ne peut être d'un genre géométrique supérieur à l'unité. Soit, en effet,

S ( X , jK , z) dx dy

une intégrale double de première espèce de/. Formons l'intégrale multiple d'ordre m

où S,- et f.. désignent respectivement S (^/, jk/, ^t) et f'-.{xi, y,, z-i). On peut écrire

d^id^q^...d^^n dxi dyi... dxa dy,, = -pr-7 — -, > — - >

D(^i,jKi, ...,y„)

le dénominateur étant le déterminant fonctionnel de ^1, ^2: • • •> ^2« P^ï" rapport aux m variables indépendantes x^^ y^^ . . ., x^^y^^. Or il est aisé de vérifier que ce déterminant fonctionnel est une fonction rationnelle et symétrique de (^1, Ji,^i), ..., (-^ra, Vre? ^// )• C'est évidemment une fonction rationnelle et, pour voir qu'elle est symétrique, il

^pj2 NOTE H.

suffit de remarquer que le déterminant

. . il -m

by

OÙ les lettres («r, b,

, /) sont en nombre /i, ne change pas si l'on permute entre eux deux couples de lignes associées, par exemple si Ton permute les lignes {a, a') et les lignes (6, b'). On remarquera

^ areille circonstance ne se présenterait pas dans le cas d'une urbe, et d'une manière plus générale dans le cas d'une fonction algébrique d'un nombre impair de variables indépendantes. Il résulte de là que l'intégrale (3 ) est de la forme

que p co

f C... C^dUd\^...dUn.

où e est une fonction rationnelle symétrique de (^i,Ji,-i)j ■ - •> {^m y m -«) et, par suite, une fonction rationnelle de ^,, ^2, • • -^ ^2«-i-i- Elle' est donc une intégrale multiple d'ordre in de première espèce pour F. Si /-est de genre supérieur à un, il est clair alors que l'on pourra former pour l'hypersurface F plus d'une intégrale multiple d'ordre in de première espèce, ce qui est en opposition avec ce que nous avons dit plus haut.

k. Le genre géométrique de / est donc au plus égal à un; mais, d'autre part, il ne peut être égal à zéro. On démontre en effet {voir t. 1, p. 137) que si

fPidx-^Qidy et fVkdx-^Qkdy

sont deux intégrales de différentielles totales de première espèce relatives à la surface/, on a l'identité

où M(x,/, z) est un polynôme adjoint d'ordre m- 4, c'est-à-dire