IMPOSSIBILITÉ DE GROUPES DE POINTS SUR UNE SURFACE ALGÉBRIQUE

un polynôme tel que Tintégrale double

est de première espèce. Si le genre géométrique de / était nul, on

aurait nécessairement

par suite, les 2 /i intégrales (i) seraient fonctions les unes des autres, €t les in équations (2) ne pourraient être distinctes.

En désignant donc, comme plus haut, par (a) l'intégrale double de première espèce relative à la surface / de genre un, nous aurons les identités

P/Q/t— P/.Qf = ^ik 7? '

les A,7, étant des constantes qui ne sont pas toutes nulles. On peut supposer A^/, différent de zéro pour i — i, k—-i\ nous écrirons

Pi Q2 — Po Q2 = <^ Ji '

C étant une constante différente de zéro, et soient

A et B étant deux constantes. De ces identités on conclut

APi-f-BPs-l-GPg = 0, AQi-i-BQa+GQa-o,

et ces relations sont inadmissibles, puisque les trois intégrales

/ Pi ^^ -+- Qi dy, TPs dx -H Q2 dy, j P3 dx -4- Q3 dy

sont linéairement indépendantes. Nous arrivons donc à une contradiction, et, par suite, on doit répondre par la négatiçe à la question posée au n° 1.

5. La question que nous venons de traiter soulève d'autres problèmes qu'il serait intéressant d'examiner. H a été expressément

mentionné que la série de groupes des n points devait correspondre uniformément à des fonctions abéliennes non dégénérescentes. On pourrait s'affranchir de cette dernière restriction. On aurait toujours la surface F et 2n intégrales de différentielles totales relatives à cette surface, mais qui ne seraient plus alors nécessairement de première espèce. De plus, tandis que tout à l'heure une intégrale de différentielle totale relative à F devait nécessairement, quand on remplaçait les \ par leurs valeurs en {x,, y,, z,), . . ., (^„, y„, Zn), se ramener à la forme

conséquence nécessaire de ce que l'intégrale est de première espèce, maintenant l'intégrale transformée pourrait a priori èlre de la forme

fPi dxi-\-Qidyi-h V.dx^^-^(ltdyi^...-^Pndxn-^Q.ndyn,

les P et Q dépendant rationnellement de l'ensemble des coordonnées (^1, yu -^i). • • -, i^n. fn, -«); on aurait là une intégrale de différentielle totale mêlée relative à n points arbitraires de la surface et symétrique par rapport à ces n points. Quoi qu'il en soit, il y a là un point à discuter, et d'une manière plus générale ces intégrales mêlées peuvent présenter quelque intérêt.

6. On peut encore se poser une autre question. En restant dans le cas des fonctions abéliennes non dégénérescentes, on pourrait considérer une fonction algébrique de trois variables indépendantes donnée

par une équation

et se poser pour cette hypersurface le problème que nous avons traité pour les surfaces de l'espace à trois dimensions : existe-t-il sur certaines hypersurfaces algébriques des séries de groupes de n points, dépendant de 3n paramètres et correspondant uniformément à des fonctions abéliennes (non dégénérescentes) de 3 ai paramètres. La parité du nombre des variables indépendantes jouait un rôle important dans la démonstration qu'on a lue plus haut; ici, avec trois variables indépendantes au lieu de deux, la démonstration du théorème (à supposer qu'il soit exact) devra être assez notablement modifiée. La même question se pose pour les fonctions algébriques d'un nombre impair quelconque de variables indépendantes.