SUR LES FONCTIONS RATIONNELLES DE TROIS VARIABLES COMPLEXES

Par M. Emile Picard.

1. Quand on passe du domaine de deux variables complexes à celui de trois variables, on peut de deux manières différentes étendre les notions relatives aux intégrales multiples. Bornons-nous ici au cas des fonctions rationnelles.

Nous pouvons, en premier lieu, considérer l'intégrale double

/ / K dy dz -\- B dz dx -]- G dx dy

(où A, B, G sont des fonctions rationnelles de x^ y et z)^ étendue à un certain continuum à deux dimensions dans l'espace à six dimensions relatif aux trois variables complexes; le sens de cette intégrale se détermine en employant toujours les mêmes considérations. La condition pour que le théorème de Gauchy s'étende à une telle intégrale, c'est-à-dire pour que cette intégrale étendue à une surface fermée soit nulle quand on peut, par une déformation continue, réduire cette surface à une courbe ou à un point sans rencontrer de valeurs de ^, y, z pour lesquelles A, B, G cessent d'être continues, est ici, comme dans le cas des quantités réelles,

dk dB dC dx dy âz

En supposant vérifiée cette condition à'intégrabiUté, nous allons chercher quels seront les résidus àe cq\.Iq intégrale double, c'est-à-dire les diverses valeurs de cette intégrale prise sur une surface fermée à deux dimensions. Nous allons d'ailleurs nous borner au cas où l'on aurait

(') Journal de Mathématiques, 1889, p. Gi.