xN'OïE III

P, Q, R, S étant des polynômes en x^ y, ^, le dernier étant supposé irréductible. La condition d'intégrabilité s'écrira alors

^ ^ Ocr ây oz \ôx oy az

Supposons d'abord que nous laissions à œ une valeur constante, d'ailleurs arbitraire; notre intégrale double se réduit alors à

Prenons alors, dans le domaine des deux variables complexes y et z, les résidus de cette intégrale double. Ceux-ci seront les périodes de

intégrale abélienne ordinaire

relative à la relation algébrique entre y et ^,

S(^, JK, z) = G.

Dans tout ceci, x figure comme un paramètre d'ailleurs arbitraire. Mais les résidus de l'intégrale double (i), si la condition d'intégrabilité est remplie, doivent être des constantes; il faut donc que les périodes de l'intégrale (3) ne dépendent pas de œ. Il est essentiel de le vérifier, et cette vérification va précisément nous ramener à certain ordre d'idées qui a joué un rôle important dans plusieurs parties de cet Ouvrage.

La relation (2), en effet, n'est pas nouvelle pour nous; elle joue un rôle fondamental dans l'étude des intégrales de différentielles totales relatives auv surfaces algébriques. Je dis que l'intégrale

\> dy — (l dx

est une intégrale de différentielle totale relative à la surface algébrique S(^,/, ^) = o.

Il faut donc montrer, comme conséquence de l'identité (2), que

ày dx

x^ y ^1 z étant liés par la relation S (^, j', ^ ) rz::: o.