FONCTIONS RATIONNELLES DE TROIS VARIABLES COMPLEXES

En développant l'égalité précédente, on a

/ dP ôP \

+ ( ;^ SI - — S:,j Si- P(S':,S1- S^S',) = G.

Nous pouvons remplacer PS^ H- QS^ par — RS^ d'après l'identité (2). Nous avons alors S^ en facteur, et la relation à vérifier devient

Or différentions maintenant l'identité (2) par rapport à z^ et faisons dans le résultat S = o, nous aurons précisément la relation précédente.

Nous avons ainsi vérifié que les périodes de l'intégrale (3) ne dépendent pas de JT, puisque ces périodes sont des périodes de l'intégrale

de différentielle totale

P dy — Qdcc

Donc les périodes de cette intégrale simple seront des résidus de l'intégrale double (i). Réciproquement, d'ailleurs, tout résidu de (i) sera une période de l'intégrale précédente, car tout résidu peut toujours se ramener à l'intégrale prise le long d'une sorte de tore enveloppant un cycle linéaire de la surface algébrique S(.t, y, ^) =0.

On voit que l'étude des intégrales de la forme (i), quand A, B, G sont des fonctions rationnelles, se rattache étroitement à la théorie des surfaces algébriques.

2. Il va en être de même pour la seconde catégorie d'intégrales multiples que l'on peut encore considérer. Envisageons maintenant l'intégrale triple

, , r r rP dxdydz

P et Q étant des polynômes en ^, /, s; la définition de cette intégrale, étendue à un continuum à trois dimensions, se fait toujours d'après les mômes principes. Nous n'avons ici aucune condition d'intégrabilité; cette intégrale, étendue à un continuum /<?rme^ est nulle, quand ce continuum peut se réduire à un continuum de moins de trois dimensions sans rencontrer de systèmes de valeurs ^, y^ ^, pour lesquelles Q s'annule.

4^8 KOTE III.

Cherchons quels sont les résidus de cette intégrale, c'est-à-dire les diverses valeurs qu'elle prend, quand on l'étend à un continuum fermé quelconque à trois dimensions.

Donnons d'abord à ^ et à y des valeurs fixes, et considérons une racine de l'équation en z

Le résidu ordinaire correspondant de l'intégrale simple

Fdz

sera manifestement

Nous avons donc maintenant à considérer l'intégrale double

P dcc dy

Quel devra être le champ de l'intégration? Cette intégrale double devra être étendue à un continuum fermé de points analytiques (^,.r, z) ou, en d'autres termes, d'après nos définitions précédentes, à un cycle à deux dimensions, de la surface Q.

Nous en concluons que les résidus de l'intégrale triple (i) sont les périodes de l'intégrale double (2), cette intégrale double étant relative à la surface algébrique Q(^, y, z) = o. Ces périodes ont été étudiées dans plusieurs Chapitres de ce Volume.

3. Nous avons (page 218 de ce Volume) cherché à quelles conditions une fonction rationnelle donnée F(^, /) des deux variables x et y est susceptible de se mettre sous la forme ,

dx dy

P et Q étant rationnelles en x et y; dans cette question sont intervenus les résidus de l'intégrale double

l j ¥{x,y)dxdy.

Une question analogue, mais moins simple, se pose pour une fonction

rationnelle donnée