SURFACES ET FONCTIONS UNIFORMES DE DEUX PARAMÈTRES

des trois variables œ, y ç^i z, à savoir de rechercher les conditions sous lesquelles on a

T7/ ^ àV dq dR

P, Q et R étant rationnelles en ^, / et z. Nous laissons au lecteur le soin de l'étudier.

SUR CERTAINES SURFACES POUR LESQUELLES LES COORDONNÉES d'un point s'expriment par DES FONCTIONS UNIFORMES DE DEUX PARAMÈTRES,

Par M. Emile Picard.

1. On sait, depuis les célèbres travaux de M. Poincaré sur les (onctions fuchsiennes, que les coordonnées d'un point d'une courbe algébrique peuvent s'exprimer par des fonctions d'un paramètre qui sont uniformes dans tout leur domaine d'existence. Comme je l'ai montré (^) autrefois, il n'est pas possible que, dans une telle représentation paramétrique, les fonctions employées aient des points singuliers essentiels isolés, quand le genre de la courbe est supérieur à l'unité.

La représentation paramétrique des surfaces algébriqu-^s par des fonctions de deux paramètres qui soient uniformes dans tout leur domaine d'existence est au contraire bien peu avancée. La seule classe bien étudiée des surfaces jouissant de cette propriété sont les surfaces hyperelliptiques et leurs dégénérescences. Exi>te-t-il d'autres surfaces pour lesquelles les coordonnées d'un point quelcon(jue s'expriment par des fonctions analytiques de deux variables ayant partout à

(1) E. Picard, Bulletin des Sciences mathématiques, i883, et Acta Mathematica, t, XI.

48o NOTE IV.

distance finie le caractère d'une fonction rationnelle ? C'est une question à laquelle on ne peut actuellement répondre. Dans la Note I de ce Volume, j'ai indiqué des surfaces algébriques possédant une représentation paramétrique de cette nature, mais je ne suis pas certain qu'il en existe en dehors des surfaces hyperelliptiques et de leurs dégénérescences, quoique cela paraisse probable.

2. Les fonctions hyperf uchslennes et hyperahéliennes, dont je me suis occupé dans différents Mémoires, conduisent à des classes certainement très étendues de surfaces algébriques jouissant de la propriété cherchée.

J'ai appelé groupe hyperf uchsien relatif aux deux variables a: et y un groupe de substitutions linéaires de la forme

/ a^cc -h biv -^ Cl a^sc -{- hoV ■+-

^' \ ax-+-by-\-c ax-+-by-{-c

qui conservent l'hypersphère

^•^o-HjKJKo — I = o

(^0 6t /o désignant les quantités conjuguées de œ et y), ce groupe étant discontinu à l'intérieur de cette hypersphère (^).

Certains exemples de groupes liyperfuchsiens m'ont été fournis par des considérations arithmétiques relatives aux formes ternaires d'IIermite à indéterminées conjuguées. Les fonctions hypergéométriques de deux variables m'ont aussi donné des exemples intéressants de groupes hyperfuchsiens (-). Ces fonctions sont données par l'intégrale

w^.-i ( u — 1)^-1 ( u — x)V--^ ( u —y)^-^ du,

où g et h désignent deux des quantités o, i, jt, j et oo. On sait qu'elles satisfont à un système S de trois équations linéaires aux dérivées partielles, ayant trois solutions communes linéairement indépendantes. En désignant par toj, tog, W3 trois de ces solutions convenable-

(') K. Picard, ylc^a Mathematica, t. \, II et V. — Voir aussi Wirtingkr, Académie des Sciences de Vienne, 1899, et R. Alezais, Annales de l'École Normale, 1902.

(-) V,. Picard, Sur les fonctions hyper fuchsiennes provenant des séries hypergéométriques de deux variables {Annales de l'École Normale, i885).

SURFACES ET FONCTIONS UNIFORMES DE DEUX PARAMÈTHES. ^Sl

ment choisies, et posant

il correspondra au groupe de S un groupe de Ja forme (i), et ce groupe sera hyperfuchsien quand les conditions suivantes seront remplies ; prenons deux quelconques des quatre quantités X, [x, bi et b^, soit par exemple X et èj, la différence 1 -\- b^ — i doit être l'inverse d'un nombre entier positif, et pareillement, si l'on prend trois quelconques de ces quantités, soit X, [x et b^^ la différence 2 — X — [j, — b^ est encore égale à l'inverse d'un entier positif. Je citerai l'exemple

\=z ix=zbi = b^— -

pour lequel \q polyèdre fondamental du groupe est tout entier à l'intérieur de l'hypersphère limite.

Tout récemment M. Hurwitz(^) a développé des considérations importantes sur la formation générale des groupes hyperfuchsiens, et l'on peut consulter aussi sur ce sujet des Mémoires intéressants de M. Fubini dans les Annall di matematica (avril 1906) et {Rendicontl del circolo matemalico di Palermo, t. XXI, 1906).

3. A chaque groupe hyperfuchsien correspondent des fonctions hyperfuchsiennes restant invariables par les substitutions du groupe, et entre trois fonctions relatives à un même groupe il existe une relation algébrique. C'est ainsi que l'on est conduit, pour chaque groupe, à une classe de surfaces algébriques.

Il n'a été formé jusqu'ici aucun exemple effectif àe. surface hyperfuchsienne. Nous avons cherché, M. Alezais et moi (2), à préparer le terrain pour une telle recherche dans un cas très particulier, en faisant une étude arithmétique préliminaire.

Considérons la forme ternaire à indéterminées conjuguées

UUq -I- VWq -h Vq w

et le groupe des substitutions à entier complexe du type a -h bp {où p est une racine cubique imaginaire de l'unité). Un groupe hyper-

( ' ) HuRWiTZ, Zur Théorie der autoniorphen Funktionen von beliebig vielen Variabeln {Math. Annalen, t. LXI).

(2) l^. Picard, Comptes rendus, 1882. — R. Alezais, Annales de l'École Normale, 1904.

fuchsien G se trouve ainsi défini. Envisageons en outre les substitutions à coefficients de même espèce, qui reproduisent cette forme multipliée par l'entier réelX: et qu'on peul appeler substitutions d'ordre A; appelons U et Y deux^ telles substitutions. On dira qu'elles sont équivalentes, quand il existe une substitution T d'ordre un telle que

l'on ait