TU = V

Il n'y a qu'un nombre limité de substitutions non équivalentes d'ordre /c, et ce nombre est égal à 2{k^-{- k ■+■ i), quand A est premier et de la forme 3m -}- t. 11 joue un rôle important dans l'évaluation du degré des surfaces hyperfuchsiennes qu'on peut faire correspondre au groupe G.

k. J'ai appelé groupe hyperabélien (^ ) relatif aux deux variables x

et y un groupe discontinu dont les substitutions sont de l'une et

l'autre forme

ax-\-h ci'y^h'\

ex

ex. y -f- p oi' X -h ^'

les variables x et y restant respectivement dans un demi-plan (ou

dans un cercle).

L'étude arithmétique des formes quaternaires réelles réductibles au

type

u\-\- ul — ul — ul

m'a donné des exemples de groupes hyperabéliens.

Antérieurement, certaines fonctions abéliennes du genre deux m'avaient permis de définir facilement des groupes hyperabéliens. Désignons, suivant l'usage, par

I o G II, G i n G'

le Tableau des périodes des intégrales normales d'une courbe de genre deux, et supposons qu'on ait la relation

(i) II2-GG'=D,

D étant un entier positif. Dans l'ensemble des transformations du

(') E. Picard, Journal de Mathématiques, i885. — II. Bourget, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1898.