III. — Des intégrales de troisième espèce

13. Une intégrale de différentielle totale, pour une surface f{x.iy^ z) = o, n'ajant que des singularités ordinaires

Pdx-^Q dy,

où Pet Q sont rationnelles en ^,jK, ^', sera, comme nous l'avons dit au n« 2, une intégrale de troisième espèce, quand elle aura une courbe logarithmique. Le long de certains contours infiniment petits, réductibles à un cycle nul, l'intégrale aufa une valeur différente de zéro. Nous appellerons période logarithmique une période provenant d'une courbe logarithmique.

Si l'on a une surface, pour laquelle /?< = i, il est clair que V intégrale ne peut avoir d'autres périodes que des périodes logarithmiques, car tout cycle se ramène par une déformation continue aux cycles infiniment petits qui ne peuvent donner que des périodes logarithmiques. Dans le cas où Ton a une surface correspondant à /?, > i , on peut obtenir une intégrale de troisième

espèce ayant, en dehors des périodes logarithmiques, />^ — i périodes arbitrairement choisies; on peut, en effet, ajouter à une première intégrale de troisième espèce une intégrale de seconde espèce ayant /?< — i périodes arbitraires.

Nous avons dit qu'à chaque courbe logarithmique correspond une période logarithmique. Supposons, comme il est permis, qu'une courbe logarithmique irréductible G ne soit pas située dans un continuumy =: const. Si l'on considère l'intégrale

P(a7, jKo, z)dx.

relative à la courbe f\x^ y^^ z) ■=. o entre x et ^, cette intégrale aura un certain nombre de points singuliers logarithmiques correspondant aux points de rencontre de la courbe G avec le plan y^=.y^. Pour un quelconque de ces points, la période logarithmique sera une constante nécessairement indépendante de y^', donc, à chaque courbe logarithmique correspond une période logarithmique. Or on sait que, dans une intégrale abélienne, la somme des périodes logarithmiques correspondant aux divers points singuliers logarithmiques est nulle; par suite, si une intégrale différentielle totale a différentes courbes logarithmiques

irréductibles

Cl, G2, . . . , C>, de degrés respectifs

mi, ma, ..., m\,

on aura nécessairement, en désignant par Fi , F^, ..., Fx les valeurs des périodes logarithmiques correspondantes

/?2i Fi -f- ma Ta -4- . , . -h m> Tx = o.

14. Glierchons, autant qu'il est possible, à faire la réduction d'une intégrale de troisième espèce. Bornons-nous aux équations de la forme

Soit donc l'intégrale

ou nous avons

J Mv//(a7,y)' M = AaBP...L\

ï68 CHAPITllE VI.

les facteurs A. B, .... L étant irréductibles et premiers avec f{x^ y). En faisant les mêmes réductions que dans le cas des intégrales de seconde espèce, nous sommes ramenés à

V dx-^q dy

X(y)A.B...Lv//(^,/)

On peut établir une proposition intéressante relative aux polynômes A, B, ..., L qui figurent au dénominateur. Laissant jk constant, considérons la période logarithmique de l'intégrale

Vdx

X(7)A.B...Lv//\^,jK) relative à un point x racine de A(^, y)^= o'^ cette période sera

x^b...lv//k7)

Cette expression devra être indépendante àe y (x étant la fonction de y définie par A = o), soit /r sa valeur constante. On aura

( R étant le poljnome ky — - B...L j pour toutes les valeurs de x

àx

ely satisfaisant à l'équation A(^, )/):^o. Nous avons donc la conclusion suivante : La surface A(x^ y) = o coupe la surface proposée z^ =f(x, y) suivant les deux courbes distinctes

Ainsi ces polynômes A, ..., L ne peuvent être pris arbitrairement.

lo. La condition nécessaire que nous venons de trouver relativement aux polynômes A, B, ..., L vient compliquer singulièrement la discussion complète des intégrales de troisième espèce. Elle peut conduire à des résultats assez singuliers au premier

INTÉGRALES DE DIFFÉIlExMIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. 1 69

abord, comme celui que je vais indiquer. Prenons le cas simple de

la condition d'intéorabilité sera

^H-^U-^f^^A^iS-'êh^'è-m

On peut se donner arbitrairement A(^,j/-), et Ton peut certainement satisfaire à cette équation en prenant pour P et Q des polynômes en x et y : il suffira de prendre ces poljnomes d'un degré suffisamment élevé. Mais si K{x,y) ne remplit pas la condition nécessaire qui vient d'être indiquée, c'est-à-dire si la surface

ne coupe pas la surface

suivant deux courbes distinctes, il ne sera pas possible que l'unique courbe d'intersection de ces deux surfaces donne une courbe logarithmique. Il faudra par conséquent nécessairement que P e^ Q soient divisibles par A.

La question inverse se pose alors d'elle-même : Gomment doit être choisi K{x^y) pour que l'on puisse trouver des poljnomes P etQ satisfaisant à l'équation (3), et qui ne soient pas divisibles par A.

Un cas simple est celui où l'on prendrait

A(a7, jr)-M2 N2/,

M et IN étant deux poljnomes, car il est évident alors que l'expression

M -f- N s/f répond à la question, c'est-à-dire peut se mettre sous la forme

r y dx~v-dy

J k{x,y)slf{x,y)

OÙ P et Q sont des poljnomes; les deux courbes logarithmiques

IN

sont les courbes d'intersection de la surface A = o avec la surface Z' =f{x^ y)y courbes qui ont respectivement pour équations

et

16. La condition nécessaire trouvée pour A{x, y) revient à dire que ce polynôme doit être un diviseur dhm polynôme de

la forme

W'-Wf{x.y\

en désignant par M et N des polynômes premiers entre eux. Il est évident, en effet, que si A désigne un diviseur d'une expression de cette forme, Ja surface A = o coupe la surface z-=^f{x^y) suivant les deux courbes distinctes

A(:r,r) = o, z = :h-' Si le polynôme A est de la forme

on pourra de l'intégrale

V dx-\-Çldy

k.B...\.s/J\x,y) retrancher un terme logarithmique, à savoir

(où K est une constante convenable), de telle sorte que la différence n'ait plus pour courbes logarithmiques les deux courbes

Les seules courbes logarithmiques à distance finie pour lesquelles on ne puisse pas faire une soustraction de cette nature sont celles qui proviendraient d'un polynôme A(^, y) diviseur d'une expression de la forme W- — ^' f{oc, y), où M et N sont

premiers entre eux, sans être lui-même de cette forme. Cette dernière circonstance algébrique peut effectivement se présenter; soit par exemple

Le polynôme xy \Ji — i divise

{x'^-{-y^f — (^^H- jK^ + i),

sans être de la forme M- — N-(^'* H-JK* + i).

Il serait intéressant de savoir si, A étant un polynôme jouissant de la propriété indiquée [n'étant pas de la forme M- — N-/(^, jr)], on pourra trouver une intégrale de différentielle totale

P <^^ + Q <ijK

sans que P et Q fussent divisibles par A. C'est un point que nous n'éluciderons pas, et nous allons seulement faire une remarque importante sur la réduction des intégrales de troisième espèce, qui pourra être utile pour la solution de la question posée.