Considérons l'intéerrale de différentielle totale

Nous supposons que dans le polynôme y(^, jk), de degré m, l'ensemble des termes homogènes de plus haut degré o^x^y) n'ait que des facteurs simples; nous désignerons par a le degré de A.

Soit k le degré de P et Q; désignons par/? et q l'ensemble des termes homogènes en :r et j^ de degré k dans P et Q, et par a{x^y) l'ensemble des termes homogènes de degré a dans A. Nous supposons que a^x^y) est premier avec 'f (^, y)-, et que a{x,y) n'a que des facteurs simples.

En prenant dans la condition d'intégrabilité l'ensemble des termes homogènes de plus haut degré, nous aurons évidemment

(4) «(i'5^-?^) = ^?(^'r)[«(|-|)+?^-/'g]' ^{x, y) désignant l'ensemble des termes homogènes de degré m

dans/ : cette équation peut s'écrire

/ ()'-û l \ fàp àq\ da da'\]

Or, d'après (4), puisque cp est premier avec a,

da àa

" àx ày

est divisible par a\ par suite, on peut diviser para Je second membre de l'identité (5) et la mettre sous la forme

d^ do • ,

et, comme -r^ et -^ sont premiers entre eux, on a

- do

a et X étant deux polvnomes homogènes en x et y, le premier de degré A — i, le second de degré k — m-{- i. En substituant ces valeurs de p et q dans l'équation (4), on obtient la relation

/d\ do dX do\ -s /^? ^«^ ^? ^^\

qui permet d'exprimer ji. en fonction de 1, si l'on a

En portant dans l'intégrale

p dx ~T- q dy

a{oc,y)s/^(,oo,y)

la valeur de a ainsi obtenue, on trouve que cette intégrale est

égale à

INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. l'jS

Nous avons supposé que a{x^ y) n'a que des facteurs simples. Il faudra que \ soit divisible par a(x^y), car les infinis de l'intégrale provenant de a(x, y) = o ne peuvent être que logarithmiques {a et '-D étant premiers entre eux); il s'ensuit que p el ry

. ' • . A- ' 'w . d^D da do da sont nécessairement divisibles par a, car autrement ~ -^ —

^ ' ôy ox ax oy

aurait un facteur commun avec a, ce qui est impossible quand a et cp sont premiers entre eux et que a n'a que des facteurs simples. Posons

et retranchons de l'intégrale proposée l'expression

'1 k -\- •! — m — '1 a la différence sera de la forme

Pi dx -\- Q, dy

^\{^jy)\/f{^,y)

Hx,y)^f{oc,y)

où Pi et Qi seront au plus de degré k — ^ i. On a donc pu diminuer d'une unité le degré des polynômes qui figurent au numérateur. On continuera ainsi la réduction de proche en proche. Une valeur de k jouant un rôle important est évidemment

Supposons que m soit pair et égal à 2 m'; on pourra faire la réduction jusqu'à ce que

Arrêtons-nous sur le cas particulier de l'intégrale

F dx-hQdy

slf^x^y)

c'est-à-dire où a = i , et, par conséquent, a = o. Quand on fait la réduction telle qu'elle vient d'être indiquée, on rencontre une circonstance intéressante ; en réduisant de proche en proche il arrive un moment où k =^ m' — 1 . Le polynôme \ se réduit alors à une

iy4 CHAPITRE VI.

constante et l'équation, qui donne [i., indique que [i. = o. La réduction peut se faire, on a à retranclier de l'intégrale le terme

mais dans la nouvelle intégrale ainsi obtenue, le degré de P et Q ne sera pas m — \ car, dans cette hypothèse, \ doit être nécessairement nulle, et l'équation donnant p. montre que [i. = o, tant

que

Donc le degré de P et Q tombera à m'— i -, nous ramènerons donc l'intégrale ci-dessus à l'intégrale

Pi dx -4- Qi dy

dans laquelle le degré de P, et Q, est égal à m' — i , et la réduction se trouve terminée.

19. Nous avons supposé au numéro précédent que a(x, jr) n'avait que des facteurs simples. On pourra tirer parti de la réduction précédente, dans bien des cas où il en sera autrement. Soit, par exemple,

le terme «» (^, y) homogène et de degré maximum dans A, n'ayant que des facteurs simples, et supposons, comme plus haut, ciAx^y) premier avec cp(^,y). On pourra faire la réduction effectuée précédemment ; on aura ici

Le polynôme \ sera divisible par a, et, si l'on pose

)v — aiXi, le terme à retrancher de l'intégrale sera

[Ai(^, 7)]^'-^' cette modification près, l'analyse du numéro précédent subsiste.

20. Nous avons considéré plus haut un cas particulier, celui où l'on a

et nous avons indiqué que le polynôme

divisait une expression de la forme

M et N étant premiers entre eux, sans être lui-même de cette forme. Cherclions si l'on peut trouver une intégrale de différentielle totale de troisième espèce de la forme

P dx -{-Qdy

\Xf y/'2 — ï) s/x'' -h J* H- I

p et Q étant des polynômes. D'après le numéro précédent, il suffira, pour le vérifier, de supposer que P et Q sont des polynômes du troisième degré. En se servant de la formule (3) d'intégrabilité, on trouve la seule solution

on est donc assuré que toutes les intégrales de différentielles totales de la forme (6) (où P et Q sont des polynômes) se réduisent à des fonctions rationnelles de x^y^ \'f{^iy)'

21. Nous n'approfondirons pas davantage, pour le moment, l'étude des intégrales de troisième espèce. Une question intéressante devrait tout d'abord être résolue : Peut-il exister, pour une surface dont la connexion linéaire est égale à V unité, des intégrales de troisième espèce ne se réduisant pas à une combinaison algéhrico-lo garithmique de la forme

^(•^5 JK, z) 4- 2A,-logR/(a7,7, z)

les A étant des constantes, '} et les R étant des fonctions rationnelles de x^y, z7

Reprenons l'intégrale

P dx-^Qdy

Si K{x^y) admel un diviseur de la forme considérée plus haut

on pourra, de l'intégrale précédente, extraire une expression de la forme

alog

a étant une constante convenable, de telle sorte que la didérence n'admette plus les deux courbes logarithmiques

comme nous l'avons vu au n*^ 16. Ce serait seulement dans le cas oii A.{x^y) aurait un diviseur qui ne serait pas de la forme

sans que P et Q fussent divisibles par A, que l'on pourrait espérer avoir une intégrale ne se réduisant pas à une combinaison algébrico-logarithmique. Le cas particulier traité dans le numéro précédent ne nous fournit malheureusement pas l'exemple que nous aurions voulu donner.

DES INTEGRALES DOUBLES DE PREMIERE ESPEGIi: Eï DES INVARIANTS OUI S'Y RAPPORTENT.

1. Etant donnée une surface algébrique à laquelle nous ne supposerons d'abord que des singularités ordinaires

nous allons considérer les intégrales doubles de la forme

j I ¥{x f,z)dxdy,

o\x F est une fonction rationnelle de x, y et z. Nous rechercherons quelle doit être la forme de la fonction F, pour que cetteintégrale ait une valeur finie déterminée, quel que soit le continu um d'intégration. Nous nous bornons, d'ailleurs, pour bien fixer les idées, à des continu um formés de portions de surfaces analytiques en nombre fini. Nous appellerons une telle intégrale double une intégrale double de première espèce. Ecrivons l'in-

tégrale sous la forme

^ , .dxdy

(') r.es intégrales doubles de première espèce ont été, pour la première fois, considérées par M. Noether {Math. Annalen, t. II, p. 3oi), mais l'éminent géomètre pose ces intégrales, a priori, et ne fait aucune discussion sur leur forme nécessaire. Dans ses travaux ultérieurs, il ne revient plus sur le point de vue transcendant, qui a été surtout développé par M. Picard ( Comptes rendus, 1884, et Mémoires sur les intégrales de différentielles totales et les fonctions algébriques., 188.5-1889).

OÙ R est une fonction rationnelle. Remarquons d'abord que l'on

^ 1 !'• . , • 1 dx dy dy dz dzdx ,^

peut, dans J intégration, remplacer — — ^ par— — ou — j-, — li,n

J z Sx J y

effet, pour faire l'inlégration, on doit considérer .r, y el z comme fonctions de deux paramètres réels A et ui, el l'intégrale écrite

plus haut revient à

TKx,y)

ffR(x,y,z):^^dldi..

Des équations

df dx df dy df dz

è dî ~^ dy dl '^ dz dl ^^^

df dx df dy df dz dx d[x dy d\x dz d\i.

on conclut

T>{x,y) D(jK,-) D(^, .r)

D(X, ;jl) D(X, \x) D(X, |jl)

df df df '

dz dx dy

et, par suite, d'une manière abrégée,

dx dy dy dz dz dx Jz Jx J y

11 résulte de là qu'en tout point simple de la surface [)Our lequel R est finie, l'intégrale reste finie.

Nous allons montrer que, pour que V intégrale reste finie, il faut que R(^, 7, z) ne devienne infinie pour aucun point à distance finie. Il est d'abord évident que R ne peut être infinie en un point de/, sans être infinie le long d'une ligne de la surface. Supposons alors que R devienne infinie le long d'une ligne simple G de la surface. Prenons sur G un point arbitraire (a, 6, c), oii nous pouvons supposer /^ ^ o ; dans le voisinage de ce point, la courbe se projettera sur le plan des ^jk suivant une courbe

o(^, y) étant holomorphe dans le voisinage de ;r~a, y^^h : les axes ayant une direction quelconque, ^ ne s'annule pas pour

X ^^ a, y =^b. Faisons alors le changement de variable

En tirant de cette égalité x en fonction de y et X par un développement valable dans le voisinage de ;r = ^, X = o, l'intégrale prendra la forme

^, d\ dy

H — ïi—

H restant finie et ne s'annulant pas pour la courbe C, c'est-à-dire pour X = o.

Prenons comme champ d'intégration le continuum obtenu en associant à tous les points d'une ligne tracée dans le plan des X, entre o et Xo, une ligne tracée dans le plan des y entre h et y^^ Xq et y^ étant respectivement voisins de zéro et de h. Ce champ d'intégration aura une infinité de points communs avec le continuum C, et, par conséquent, d'après une remarque faite précédemment (Chap. III, n" 10), l'intégrale peut devenir infinie. Or envisageons l'intégrale

fjy-i

et laissant y fixe, faisons tendre X vers zéro ; l'intégrale augmentera indéfiniment. Nous voyons donc que l'intégrale

^ dx dy

augmentera indéfiniment quand on fera tendre, d'une certaine manière, le point (^, y^ z) vers un point de la courbe G.

On a supposé que G était une courbe simple de la surface ; la même conclusion subsiste si G est une courbe double, et, dans ce cas, la fonction R doit non seulement ne pas devenir infinie le long de la courbe double, mais elle doit, de plus, s'annuler le long de cette courbe. En eff'et, K(x,y^ z) contiendra X- en dénominateur,/J contiendra X en facteur ; si donc la valeur de R était différente de zéro pour X = o, l'intégrale se réduirait encore à une expression de la forme

r riidXdy^

et deviendrait infinie pour un certain continuum.

l8o CHAPITRE VII.

Nous arrivons donc à la conclusion que R(^,y, z) reste Jinw pour tout point à distance finie et sUinnule le long des courbes doubles.

Or, si l'on prend d'abord une courbe y"(^,jK)=o, il résulte aisément du théorème cité de Noether (Cliap. V, n° 13) que toute fonction rationnelle R(^', y) restant finie pour tout point à distance finie et s'annulant aux points doubles peut se mettre sous la forme d'un polynôme entier en x et y. Cela résulte aussi de la discussion de la forme classique çles intégrales abéliennes de première espèce, où l'on rencontre une fonction rationnelle R jouissant de la propriété indiquée et qui se réduit à une fonction entière en X et y.

Si nous revenons maintenant à la surface proposée, on conclut du théorème précédent que R(^, y, z) peut se mettre sous la forme d'un polynôme Q(-^5jK7 ^) • nous avons donc à envisager l'intégrale

'Q.{^^y'.z)dxdy