CI

Q(x,tx,z)xdtdx .,

Faisons varier t dans un champ fini, et faisons grandir x indéfiniment : l'intégrale

^ Ç^ix, tx, z)x dx V-'

f'.{x, tx,z)

doit être une intégrale de première espèce pour la courbe définie par la relation entre ^ et ^

f{x, tx, z) — o,

où t est un paramètre arbitraire; car, dans le cas contraire, notre intégrale double deviendrait certainement infinie quand, t variant dans un champ fini, x grandirait indéfiniment. Il résulte de là

INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. ï8l

<{iie, pour t arbitraire, le produit

Q(a7, tX^ Z)X

doit être un polynôme de degré m~Z en x et z. Par suite, Q(^,j-, z) est lin poljnomede degré m — 4 en ^, jr et ^, el nous avons donc la forme nécessaire de V intégrale

Q(.y, y, z)dx dy

ou Q(^, jr, z) est un polynôme de degré m — ^, tel que la surface

Q(^,JK,-)=o passe par la courbe double.

Î2. Si maintenant nous prenons l'intégrale précédente, nous devons nous demander si elle sera nécessairement de première espèce. D'après les raisonnements qui précèdent, on ne peut avoir de doute à ce sujet que pour un continuum dans le voisinage d'un point-pince sur la courbe double ou dans le voisinage d'un point triple de la courbe double, puisque, pour un point ordinaire de la

hgne double, jj est fini. Nous allons traiter ces cas, en procédant

comme nous l'avons fait pour les intégrales de différentielles totales de première espèce (Chap. V).

Soit un point-pince de la courbe double ; on ne diminue pas la généralité du raisonnement en supposant que l'axe des z est la courbe double, le point-pince étant à l'origine. Nous aurons ainsi l'équation, si le plan .r == o est le plan tangent au point-pince,

{a~-:LX-^^y-^-(z-^. . .)x^- -^{ol' x -\-^'y -r-^' z H-. . .)xy

Considérons l'intégrale double

(l{x, y, z)dx dy

fz

où nous supposons que la surface Q = o passe par l'axe des Zj c'est-à-dire que

iSa CHAPITRE VII.

M et N étant des polynômes. Si l'on pose

l'équation de la surface montre immédiatement que u tend vers zéro quand le point (jr, j', z) tend vers l'origine. Or, en faisant dans l'intégrale le changement de variable x = uy^ nous avons

( M w -h N ) du dy

les termes non écrits au dénominateur s'aunulant pour ^ i= o, y = o, z = o. En supposant, comme nous pouvons le faire, que y^o(le point-pince étant général), nous avons une intégrale restant finie de quelque manière que u et y tendent vers zéro.

Plaçons-nous maintenant en un point triple de la courbe double; nous pouvons supposer que ce point est à l'origine et que les trois axes de coordonnées sont les droites doubles. On a alors

l'équation

xyz^^r,{x,y, ^) -+-... = 0,

tous les cônes 0/= o ayant pour courbes doubles les axes de coordonnées, et l'intégrale prend la forme

Q(x, y, z)dx dy

fj

la surface Q(^x, y^ z)= o passant par les trois axes, et ayanl nécessairement, par suite, un point double à l'origine. En posantjK= ux, z = ^x, l'intégrale devient

Çl(x, iix, pa?)a? du dx

la relation entre w, v eV x étant

(l) UV -^ XO<^{\^ U^ v)-\- ...■=■ Q>^

OÙ les termes de moindre degré dans les c2/(i, u^ r) sont au moins du second degré. D'autre part, Q(^, ux^ v x^ contient x- en facteur et est certainement de la forme .^-(Mm + N(^). Donc, l'intégrale peut s'écrire

Ç r {JSlu-^^v)xdudx J J u-hx^l^,{i, u,v)+..

INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. l83

Or, on peut supposer qu'on se trouve dans une région autour de l'origine pour laquelle u et ç restent finies, car, dans le cas contraire, on ferait un autre changement de variables en considérant d'autres rapports des trois lettres x^y^ z entre elles. Nous pouvons donc dire que nous avons une surface représentée par l'équation (i); nous avons à considérer ceux de ses points qui correspondent à des valeurs de x voisines de zéro et à des valeurs finies de ugIv, l'une au moins de ces dernières étant nécessairement voisine de zéro. Tous ces points sont des points simples de la surface (i), sauf les points correspondant à « = o, (^ = o : la surface (i) admet en effet la ligne double

Nous pouvons regarder l'intégrale (2) comme une intégrale double relative à (i), dans laquelle le coefficient de du dx au numérateur s'annule pour la ligne double. Nous sommes ainsi assurés, d'après ce qui précède, que Vintégrale reste finie.

Nous conclurons donc que la condition nécessaire et suffisante pour que ^intégrale double, ou O est un polynôme de

degré /?z — 4 ,

Q(3?. jK, z)dxdy f'z

ir

soit de première espèce est que la surface de degré m — 4

passe par la courbe double.

3. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la surface n'avait que des singularités ordinaires, c'est-à-dire une ligne double pouvant avoir seulement des points triples, ce qui correspond à la réduction générale des singularités d'une surface algébriques.

11 est d'un grand intérêt d'examiner certaines circonstances pouvant se rencontrer fréquemment, de façon à ne pas avoir à faire la réduction générale. Le cas le plus simple sera celui d'un point double isolé avec un cône de tangentes irréductible; nous allons voir que la présence d'un tel point n'entraîne aucune con-

l84 , CHAPITRE VU.

séquence pour le polynôme Q. En meltant le point double à l'origine, nous avons, pour l'équation de la surface,

Posons

l'équation de la surface devient

(3) (p2(X, Y, i)-f-5cp3(X, Y. i)-+-...= o.

Prenons l'intégrale double

'Q(x, y. z)dx dz elle devient

Lf

r rÇl{\z, Yz, z)dXdz

J J cp;^,(X,Y,i) + ^(~3

On peut supposer que X et Y restent finies, car, autrement, on ferait un autre changement de variables; nous avons donc à considérer, pour des valeurs très petites de ^, des valeurs finies de X et Y. Dans ces conditions, le point (X, Y, z) est certainement un point simple de la surface définie par l'équation (3), puisque cp2 est irréductible. L intégrale reste donc finie, et la présence du point double n'entraîne aucune conséquence pour le poljnome Q.

On peut discuter, avec les formules précédentes, beaucoup d'autres cas; tout d'abord, la même conclusion subsistera, en général, quand le cône

cp2(^, 7, :;)=o

se composera de deux plans distincts. Dans ce cas, l'équation

cp2(X, Y, i)=o .

donnera deux droites distinctes. Si, pour le point de renconlre de ces deux droites, on a

la surface (3) n'aura pas de points multiples pour z voisin de zéro et pour X, \ finis. On peut encore aller plus loin; lorsque les coordonnées (a, j3) du point de rencontre des droites cp2(X, Y, i) = o, annulent le polynôme -^-x^ la surface (3) aura le [)oint double

INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. l85

(a, [i, o), mais, en généra J, le cône des tangentes sera irréductible, et nous n'avons aucune condition.

Il en est encore ainsi, en général, même quand le point est un point uniplanalre , c'est-à-dire quand cpo (^, jk, z) est un carré parfait. En effet, la surface (3) aura, comme points doubles correspondant à ^ =:= o, les points de rencontre de la droite double

cp2(X, Y, i)=.o

avec la courbe cp3(X, Y, i)— o; ces points doubles seront, en général, des points doubles isolés ordinaires pour la surface (3), et, par suite, nous ne trouvons aucune condition à imposer au poljnome Q par le fait de la présence d' un point uniplanaire général.

11 en sera autrement si l'on a cette sorte de point uniplanaire désigné par les géomètres anglais sous le nom de tacnode, et dont nous avons déjà parlé (p. -j^). L'équation est, dans ce cas, susceptible de se mettre sous la forme

'^2 est un polynôme homogène du second degré en x, y et ^, et '^4 est du quatrième degré; c'est le cas où cp^ est un carré parfait, et où cpg contient une foi'^ en facteur l'expression linéaire dont 0-2 est le carré. En posant

x = Xz, y=^Yz,

nous avons la relation

Cette surface S aura pour ligne double

L'intégrale

devient

Q(X.r. Yz, z)dX dz Fk

Pour que l'intégrale soit de première espèce, il est nécessaire que le polynôme, qui figure au numérateur, égalé à zéro, repré-

l86 CHAPITRE VU.

sente une surface passant par la ligne double de 2. Il en sera ainsi

si la surface

passe par le tacnode. 11 est clair, d'ailleurs, que cette condition est suffisante pourvu que le tacnode soit un point général de celte sorte. Ainsi, la présence d^ un tacnode entraîne une condition pour les intégrales doubles de première espèce (^).

4. Nous avons, aux n°' 1 et 2, dans la recherclie des intégrales doubles de première espèce, supposé que la surface avait seulement, comme lignes multiples, des lignes doubles. Il est essentiel de voir c^nhine intégrale de première espèce a, dans tous les cas possibles, la forme précédemment trouvée. Nous aurons bientôt besoin de ce résultat pour arriver à la notion du genre dVine surface.

Reprenons l'intégrale sous la forme

dx dy

If

la surface avant, cette fois, des singularités entièrement arbitraires. Je dis d'abord que l'intégrale simple

qu'on peut regarder comme une intégrale abélienne relative à la courbe /'(.r, jr, ^) ^= o, est une intégrale de première espèce. Nous donnons 'k y une valeur arbitraire, de sorte que les points multiples de la courbe /"(.z", jk, ^)= o sont à l'intersection de la courbe avec le plan jK=y. Soit un de ces points de icncontre dont nous désignerons Vœ par a(y)^ la fonction a(y) étant une fonction liolomorphe dey dans un certain intervalle suffisamment petit.

On pourra, dans le voisinage de x = a^ développer -p ^^ ^^

( ' ) M. NocLlier a étudié rinflucncc de points singuliers d'espèce variée sur le genre d'une surface algébri(jue dans les Nachricliten de la Société Royale de Gottingen (1871).

manière suivante :

les coefficients des puissances de ^ — a non écrites étant supérieurs à — a, et le coefficient A étant une fonction holomorphe de y dans Tintervalle considéré. On a alors à prendre l'intégrale double

Posons

nous aurons alors l'intégrale

Si l'on avait

du dy.

on pourrait avoir un continuum d'intégration pour lequel l'intégrale sera infinie : on a donc

et, par suite, l'intégrale

fz

reste finie pour ^ = a. Ainsi, l'intégrale précédente relative à la courbe/(^, jK, ^) = o reste finie pour tout point à distance finie. Il en résulte que R(^, y^ z) est un polynôme en ^ et ^ ; on établirait de la même façon que R(^,y, ^) est un polynôme en y et z^ et par suite R(;r,j^, ^) est un polynôme en x^ y et z. Nous arrivons donc à la conclusion que, quelles que soient les singularités^ une intégrale de première espèce a nécessairement la

forme

'Q(.T, y. z)dx dy

et l'on voit, comme plus haut, que Q(.r, jr, z) est au plus du

deoré m — 4

INous avons là des conditions nécessaires; il faudra ensuite faire une discussion pour écrire les conditions supplémentaires. La

l88 CHAPITRE VII.

surface pourra avoir des points multiples isolés qui nécessiteront une discussion spéciale; relativement aux lignes multiples, il résulte évidemment de l'analyse ci-dessus qu'un plan arbitraire

y = const.

coupera la surface Q = o suivant une courbe qui sera une adjointe d'ordre m — 4 de l'intersection de la surface proposée par le même plan, et, sous cette condition, l'intégrale restera certainement finie pour le voisinage d'un point pris arbitrairement sur la courbe multiple. Mais il pourra y avoir sur celle-ci certains points particuliers pour lesquels une discussion sera nécessaire; ainsi, par exemple, pour prendre un cas très simple, si une surface a, comme plus haut, une courbe double le long de laquelle les deux plans tangents sont, en général, différents, et qui a seulement certains points-pince de nature générale, il suffira que l'adjointe Q z= o passe par la ligne double, sans qu'il y ait aucune condition supplémentaire à ajouter pour les points-pince. Mais si le pointpince est spécial, il pourra y avoir des conditions supplémentaires à écrire; il en sera ainsi dans le cas où le coefficient ^" sera nul. On s'en convaincra en prenant la surface

(a -^r- ^(z)x^ ^{7.' X -\- '^' y ^'i z) xy -^ {a." X -^ '^" y)y^ = o,

qui admet la ligne double ^ = o,yr=o, avec un point-pince à l'origine. L'intégrale *

Q(a7, j, z)dxdy

Q(-^7 ,r, ^) étant un polynôme tel que la surface

Q(ir,jK,^)=o

passe par la ligne double, reste finie dans le voisinage de tout point de la courbe double à distance finie, sauf pour l'origine.

Dans tous les cas possibles, la recherche des conditions supplémentaires se déduit aisément de la réduction supposée effectuée des singularités, ou, ce qui revient au même, des expressions des coordonnées x,y, z des points de la surface dans le voisinage d'un point singulier, exprimées au moyen d'un nombre limité de développements holomorphes par rapport à deux paramètres.

Toute surface Q(^, y, z)=o d'ordre m — 4, pour laquelle le premier membre de V équation peut servir à former une intégrale double de première espèce, est dite une surface adjointe d'ordre m~ /{. Le système linéaire formé par ces adjointes est désigné sous le nom de système canonique.

5. Un cas simple et intéressant est celui d'une surface ayant des lignes multiples et des points multiples isolés; ces lignes et ces points étant de la nature suivante. En un point arbitraire de la ligne multiple, les plans tangents sont différents; il peut seulement y avoir certains points particuliers de la ligne multiple où deux plans tangents sont confondus, et l'on suppose que l'on soit dans le cas le plus général où cette circonstance se présente. Relativement à un point multiple isolé, on suppose que la surface ayant pour équation

'•^pi^^y^ ^) + ?P+i(^, jK^ ^) — .. .^ o,

la transformation

x = Xz, y = Xz

fait correspondre à ce point une courbe

s = o, cpp(X, Y, i)=o,

dont tous les points à distance finie sont des points simples pour la surface transformée.

11 résulte d'abord, de ce que nous avons dit plus haut, que la surface adjointe

aura une ligne multiple d' ordre p de la surface comme ligne multiple de degré p — i .

Pour voir la condition relative à un point multiple isolé d'ordre g, faisons dans l'intégrale

^Q(.r, jK. z)dx d'<

le changement de variable ^ = Xi;, JK = Y^ : l'intégrale devient

Q(X^. Y.-. z)zdXdc

ff

igO CHAPITRE VU.

et Ton voit de suite qu'au numérateur, le polynôme Q(X;:, Yz-, z) doit contenir z"^'- en facteur; donc la surface adjointe Q = o admet le point multiple isolé d'ordre q de la surface comme point multiple d'ordre ^— a-, c'est l'extension de ce que nous avons trouvé pour ^ = 2, cas dans lequel aucune condition ne se trouve imposée à l'adjointe.

6. Terminons cette Section par une remarque qu'on peut reoarder comme une extension du théorème d' Abel aux intégrales doubles de première espèce. Soit la surface

fix.y, 5)=-o,

et considérons les deux faisceaux de surfaces

A(a7,7, 5)-4-XB(:r, jK, ^)=o,

Supposons que les trois équations précédentes définissent un certain nombre m de points

variables avec ). et [jl, et décrivant toute la surface, c'est-à-dire que le déterminant fonctionnel de xi et yi, par rapport à \ et ]x, n'est pas identiquement nul. Nous désignons, comme plus haut, par

' Ç)( X. r. z) dx dv

une intégrale double de première espèce de la surface, et nous formons la somme