TT

C'est une fonction symétrique de {Xi^y^^ Zt), ..., (^m, Jw? ^m)', elle est donc une fonction rationnelle de ). et ij., soit

Or, si l'on prend un continuum arbitraire d'intégration dans le domaine des variables complexes ()., [^), il y correspondra un

continiuim pour (^/, y/, G/), et l'on aura

Or, quel que soit le continuum régulier pris dans l'espace (X, (jl), le premier membre restera fini; il en sera donc de même du second. Mais une intégrale double d'une fonction rationnelle de X et [A ne peut rester finie pour tout continuum d'intégration, à moins qu'elle ne soit toujours nulle. On a donc identiquement

et, par suite, V expression E est identiquement nulle, ce qui constitue une extension du théorème d'Abel aux intégrales doubles de première espèce. On voit que nous avons suivi absolument la même voie que celle qui est souvent employée pour établir le théorème d'Abel en se iimilant aux intégrales de première espèce; au point de vue analytique, celte extension est d'ailleurs plus curieuse qu'utile, et nous n'y insisterons pas (').

II. — Du genre géométrique {Fldcheng^escldecht) des surfaces algébriques (2).

6. Dans la théorie des courbes algébriques, la considération des intégrales de première espèce conduit à un nombre qui joue un rôle considérable : c'est le nombre habituellement désigné par />, et qui est égal au nombre des intégrales de première espèce linéairement indépendantes. Considérons pareillement une surface

(') Dans deux Mémoires du Journal de Mathématiques (1887 et 1890), M. Humbert a fait d'élégantes applications géotnclriques de l'extension du théorème d'Abel aux intégrales multiples.

(-) La notion de genre a été introduite dans la théorie des surfaces par Clebsch dans une courte Note des Comptes rendus (décembre 1868). Elle a été ensuite approfondie par M. Noether dans un Mémoire du tome II des Math. Annalen, que nous avons déjà cité, et surtout dans son Mémoire fondamental du tome VIII de la même collection. Dans ce dernier Mémoire, M. Noether se place uniquement au point de vue algébrique.

algébrique irréductible quelconque de degré m et soit

sr

l'expression générale des intégrales doubles de première espèce. ]^e polynôme Q est un polvnome de degré m — 4? et dépend d'une manière linéaire et homogène d'un certain nombre de constantes arbitraires. Soit pg ce nombre, de telle manière que, si l'on désigne par

(S) Q„ Q2, ..., QV,

y?«- polynômes correspondant à des intégrales de première espèce, entre lesquels on n'a pas de relation homogène et linéaire à coefficients constants, l'expression générale de Q sera

les A étant des constantes. Quand nous disons qu'entre les termes de la suite (S) n'existe pas de relation homogène et linéaire, on peut entendre indifféremment qu'une telle relation

«1 Qi + «2 Q2 -^ •••-+- a/,^„ Q/7. = o

(où les a sont des constantes qui ne sont pas toutes nulles) ne peut avoir lieu, soit qu'on y considère x^y^ z comme trois variables indépendantes, soit que le point (^, j^, z) appartienne à la surface /. Les deux points de vue reviennent au même, puisque les Q sont de degré inférieur à m.

Le nombre />o^ s'appelle le genre géométrique de la surface; Noether le désigne aussi sous le nom de Fldchengeschlecht ; il est l'analogue du genre riemannien p d'une courbe algébrique. Nous verrons bientôt (Chap. VII l) pourquoi nous ajoutons Findice g : c'est qu'il y aura lieu d'introduire dans certains cas, à côté de/?o^, un autre nombre qui sera désigné sous le nom de genre numérique.

7. Le genre pg est un nombre invariant, c'est-à-dire qu'il est le même pour deux surfaces qui se correspondent birationnel-

INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. igS

lement. Soient

les équations de deux surfaces algébriques; on suppose que l'on ait simultanément

r-R2(X, Y, Z), z = R3(X, Y, Z) et

X=^ r,(a7, JK, 5), Y ^j\{x,y, z), Z = r^{x,y, z),

les R et r étant des fonctions rationnelles des lettres dont elles dépendent. Nous disons, dans ce cas, que les deux surfaces se correspondent par une transformation birationnelle. Il est immédiat que le genre géométrique sera le même pour les surfaces / et F.

En effet, à toute intégrale double de première espèce de /correspond une intégrale double de première espèce de F et inversement, comme le montrent de suite les substitutions birationnelles. Les genres des deux surfaces sont donc égaux ( ' ).

8. Indiquons quelques exemples simples. Soit tout d'abord la surface la plus générale de degré ni] comme cette surface n'a pas de points singuliers, on aura

(m -~-^)(ln — ').){m — 3) Ih^ = -^ >

ce nombre étant le nombre des arbitraires dans un polynôme d'ordre m — 4 à trois variables. D'après ce que nous avons dit dans la Section précédente, un point double isolé ne diminue pas en général le genre; nous avons vu qu'il en était ainsi, non pas

(*) La démonstration de ce théorème, qui est immédiate, comme on vient de le voir, quand on se place au point de vue transcendant, après avoir discuté complètement la forme des intégrales doubles de première espèce, est, au contraire, très délicate quand on se place au point de vue algébrique, comme l'a fait NoetUer (voir Math. Annalen, t. VIII, p. 5i4).

P. ET S. i3

ig^ CHAPITRE VII.

seulement pour un point double à cône indécomposable, mais pour un ppint biplanaire général et même pour un point uniplanaire général. Au contraire, un lacnode général diminue le genre géométrique d'une unité.

Si, SU7' une surface, il existe une famille (^dépendant d^un paramètre arbitraire) de courbes unicursales, le genre de la surface sera nul.Danis ce cas, il j aura certainement sur la surface une courbe, dépendant d'un paramètre arbitraire w, susceptible d'être représentée par deux équations de la forme

'j étant un polynôme en x et j^, dont les coefficients dépendent algébriquement du paramètre u, et R étant rationnel en x Gly et algébrique en u.

En effet, la famille de courbes gauches pourra nécessairement se mettre sous la forme

les coefficients dans cp et R dépendant du paramètre arbitraire. Or, en laissant indéterminés tous les coefficients de cp et R et écri- \ant que cette courbe est située sur la surface, on aura un certain nombre de relations algébriques entre ces coefficients. Ces relations devront nécessairement permettre de laisser au moins un de ces coefficients arbitraires, et l'on a alors le résultat annoncé.

Si cette courbe est unicursale, on pourra exprimer .r, y, z rationnellement en fonction d'un paramètre \, les coefficients des puissances de \ dans ces fonctions rationnelles étant des fonctions nécessairement algébriques de u. C'est ce qui résulte de ce que, pour avoir ces expressions, il faut, en procédant comme on le fait d'habitude, prendre sur la courbe un certain nombre de points^ on pourra prendre, par exemple, des points dont on se donnera les x, les autres coordonnées dépendront alors algébriquement de u. Finalement, on pourra exprimer les coordonnées d'un point arbitraire de la surface sous la forme

X = Pi(X, u), y = l\a, u\