Un système linéaire de surfaces d'ordre donné n i

sera corn-

SYSTÈMES LINÉAIRES DE SURFACES, ETC. Jl

plet OU incomplet suivant que l'on considère l'ensemble tout entier ou une partie de l'ensem])le des surfaces d'ordre n se comportant de la manière indiquée aux points-bases donnés et le long des lisfnes-bases données.

3. En restant toujours dans les hypothèses bien nettement spécifiées plus haut, envisageons un système linéaire complet de surfaces d'ordre /i, soit \^" \^ défini seulement par certaines lignes-bases.

Si l'on considère l'intersection de ce système par un plan général a, on obtiendra ainsi, dans ce plan, un système linéaire de courbes d'ordre /i, qui a ses points-bases aux points d'intersection du plan et des lignes-bases, et qui s'y comporte de la manière donnée. Mais ce système de courbes planes pourra être complet ou incomplet. Dans tous les cas, il est contenu dans un système complet | FJJ |, complètement défini par les points-bases.

4. Étant données des lignes-bases et un comportement défini dans un plan arbitraire, considérons d'une part le système linéaire I ^'^ I ainsi défini, et d'autre part le système linéaire | W'^ j défini par la condition que ses surfaces se comportent de la manière voulue, le long des lignes-bases, mais seulement dans le plan général passant par une droite donnée A. Le système | <ï>" | est évidemment compris dans le système | ¥" |, s'il ne coïncide pas avec lui. Nous allons montrer que ces deux systèmes coïncident.

Sur un plan général a de l'espace, les courbes découpées par I <ï>" I appartiennent à un système complet de courbes | rjj |, et les courbes découpées par | ^" | appartiennent à un système complet |Aa|. Supposons que | ^F" | et | <ï>'' | ne coïncident pas, il faudrait que, pour un plan arbitraire a, les comportements de la section correspondante de | ^" | aux points de rencontre avec les lignesbases exigeassent moins de conditions que pour \^'^\. Or les courbes A et r étant de même ordre /?, il faudrait que le degré (nombre des points d'intersection en dehors des points-bases) du système I A'a I fut supérieur à celui du système [r^ |. Or ces deux systèmes ont même degré : en effet, le degré du premier système est l'ordre de la courbe d'intersection de deux surfaces <ï>, et le degré du second l'ordre de la courbe d'intersection de deux surfaces ^; et

ces deux ordres sonl égaux, car ces deux courbes coupent en un même nombre de points un plan arbitraire passant par A. Les deux systèmes | <ï>" | et | W" \ coïncident donc bien.

o. On conchit de la proposition précédente le moyen de construire une surface ayant le^ comportement voulu le long de lignes-bases données. Envisageons, dans un plan arbitraire passant par une droite fixe A, le système | F'^J | complet de courbes d'ordre n ayant le comportement voulu aux points de rencontre du plan et des lignes-bases. Fixons une de ces conrbes au moyen d'un certain nombre de points déterminés rationnellement en fonction du paramètre qui détermine la position du plan. Cette courbe, quand le plan tournera autour de A, engendrera une surface se comportant de la manière voulue le long des lignes-bases. Quant à Tordre de cette surface, il pourra être supérieur à /i, et sera égal à n + A', si la droite est une droite multiple d'ordre k de la surface.

6. Revenons aux systèmes de courbes déterminés par V intersection d\ui système linéaire de surfaces a^'cc un plan. Nous allons démontrer le tbéorème suivant (') :

Des lignes-bases étant données avec comportement donné ^ le système linéaire des surfaces d^ ordre suffisamment élevé ^ passant avec le comportement voulu le long de ces lignes, découpe sur un plan général un système linéaire complet et régulier de courbes.

7. Commençons par établir un lemme relatif au^ systèmes linéaires de courbes planes: Soient j C'' | et | C"-*^ ' | deux systèmes complets et réguliers, d'ordres /i et /i + ï , ayant les mêmes points-bases et le même comportement en ces points. On forme toutes les courbes C''+- composées d'une C"+' et d'une droite variable; nous allons montrer que le système linéaire IC""*""!, de dimension minimum contenant toutes ces courbes C""^-, est le sys-

(') Ce Uiéoièmc et la démonslralion que nous en donnons sonl dus à M. Caslelnuovo [Alcune proprietà fondamentali dei systenii lineari di ciirve tracciati sopra una superficie algebrica (^Annali di Mnlematica, 1897 )].

tènie complet cV ordre ?i -\- 2 défini par les mêmes points-bases et les mêmes comportements en ces points que les systèmes primitifs.

Désignons par 0,^, ^/z+i, P//+2 '^s dimensions des trois systèmes I C" |, I G''+' |, I G''+-|, et soient a et b deux droites du plan. Les conrbes de | C"+- 1 qui passent par le point de rencontre de a et b forment un système de dimension p«+) — i, qui contient, par hypothèse, les deux systèmes obtenus en réunissant d'une part les conrbes de | G""^^ | à la droite a, et d'autre part les courbes du même système | G"+' | à la droite b. Ges deux systèmes sont de dimension p//^, et ont en commun le système de dimension 0,1 obtenu en réunissant les courbes de | G" | aux deux droites a et b. On a donc la relation

Or, en désignant par k le nombre maximum de conditions auxquelles doit satisfaire une courbe algébrique pour passer avec le comportement voulu aux points-bases donnés, on a, puisque les systèmes | G" | et | G''+^ | sont réguliers et complets.

donc

et par suite

/iM- 7 n + 8 , ■^o„4 1 — p,, -^ k,

/i2 + 7 Al -+- 8 , . ( /i -4- ?. ) ( n -h 5 ) ,

Qn+1 = K -h l /C.

Mais la dimension d'un système de courbes d'ordre n-\-2, ayant les points-bases et le comportement donnés, est au plus égal à

k, donc on doit avoir

'ft+2 — /i,

et par suite le système ! 0"+^ | est complet et régulier, puisque les deux premiers le sont. Notre lemme est établi.

De ce lemme résulte évidemment que, sous les hypothèses faites, le système de dimension minimum | 0"+'' | contenant le système obtenu en formant toutes les courbes composées d'une G"+*

et d'une courbe d'ordre / — i fixée arbitrairement est aussi complet.

8. Voici maintenant la démonslration du théorème fondamental énoncé au n° 6. Pour nn groupe-base donné (li-nes-bases et comportement), on peut choisir Tordre n du système des surfaces assez élevé pour que les systèmes complets de courbes |P' | relatifs à un plan sécant arbitraire soient réguliers, et qu'il en soit de même pour les systèmes |r"-' | déterminés par les systèmes de surfaces d'ordre /i — i , et il en sera de même pour les systèmes d'ordre supérieur. Gela posé, partons d'une position arbitraire, mais fixe, du plan a, et fixons dans ce plan une droite arbitraire g. Considérons le faisceau d'axe g et soit | P' | le système complet de courbes d'ordre n déterminé par les points-bases dans le plan a. On peut, comme nous l'avons vu, construire une surface <I>'*+^, ayant la droite ^ comme ligne multiple d'ordre k, qui se comporte de la manière voulue le long des courbes-bases données et dont l'intersection avec le plan a soit une courbe d'ordre n fixée à l'avance parmi les courbes du système | F" | correspondant.

Répétons la même construction en faisant varier dans le plan de départ aussi bien la droite g que la courbe Y initiale. Nous obtiendrons ainsi une infinité de surfaces 4>«+^^ qui appartiendront à un système linéaire complet [ <Iî"+^ |. Toutes les surfaces de ce système se comportent de la manière voulue le long des courbesbases et découpent sur le plan a un système linéaire de courbes d'ordre n + A", comprenant toute courbe composée d'une Y" et de la droite générale g comptée k fois.

En vertu du lemme précédent, ce système dq. courbes d'ordre /z -h A- est complet et régulier. Donc le système complet | ^'^+^ | découpe sur le plan a un système complet de courbes. La même chose a lieu a fortiori pour tout plan de l'espace et notre théorème est démontré.

9. Ces résultats peuvent s'étendre au cas ou il y a des pointsbases isolés. On peut, en effet, en parlant d'une surface ^ qui se comporte de la manière voulue le long des courbes-bases données, construire une surface particulière qui satisfasse aux conditions imposées par les points-bases, par exemple en adjoignant

à^, pour chacun de ces points singuliers O, un cône de sommet O et d'ordre suffisamment élevé. De la sorte, en partant du système I (|)«+/f I obtenu précédemment, et faisant varier tous les éléments arbitraires, on obtient un système linéaire complet | ^^"^ | de surfaces d'ordre 7?i > /z + /c qui découpe sur tout plan un système complet et régulier de courbes; on le voit par le même raisonnement.

10. Pour montrer l'intérêt du théorème précédent, indiquons des exemples de systèmes linéaires de surfaces qui ne découpent pas sur un plan un système complet et régulier de courbes.

Considérons toutes les surfaces du second degré passant par un groupe-base formé d'un cubique gauche et d'un point A extérieur à cette cubique. Elles dépendent de deux paramètres et déterminent, sur un plan arbitraire, un système de coniques qui n'est pas le système complet des coniques passant par les trois points où la cubique rencontre le plan, car elles doivent passer par un quatrième point fixe, le point double apparent de la perspective de la cubique sur le plan, avec le point de vue A.

Soit, en second lieu, le système des quadriques passant par huit points; elles déterminent, sur un plan arbitraire, un système de coniques dépendant d'un paramètre, qui n'est, par conséquent, pas le système complet des coniques du plan.

11. — Sur la dimension d'un système complet de surfaces (^ ).

11. Considérons un système complet de surfaces d'ordre A^, défini par des lignes-bases et des points-bases. Ce système | <ï>" | détermine, sur un plan général a, un système de courbes planes ayant un comportement déterminé aux points oiî a rencontre les lignes-bases. Ce système peut n'être pas complet; il est compris alors dans un système complet | F" | et il a un certain défaut co„. Le système | F'^ | peut ne pas être régulier : soit Sn sa surabondance. La dimension ^a du système | F" | sera

p« = ~ I — A- + Sa,

k ne dépendant pas de n. Alors le système | <l>" | de surfaces dé-

(') Voir Castelnuovo {Mémoire cité diU n° 6),

termine sur a un système de courbes dont la dimension est

Pu— W„

— I — /t -hi^t— Ma.

Si l'on assujettit une surface ^" à passer par p„ — co,^ + i points pris arbitrairement dans le plan a (en supposant cela possible), cette surface se décomposera en le plan a et une surface du système |4>"~' I défini par le même groupe-base. Si donc /'„ et /'//, désignent les dimensions des deux systèmes [ (I>" [ et \(b"-^ |, on aura

/•«-l = f'n— (pn— W,i+ l),

d'où

(E) /•, - /■„- , ^ ^ ^^ + ' \^^ ^ ^ "■ ^ - A- + .. - co, {s,,lo, co„>o).

Dans le cas où le système |<ï>«~' | n'existerait pas, on aurait alors r„= o„ —iOn^ ce qui revient à poser, dans l'expression précédente, /•/,. I = — I .

Gela posé, parlons de la plus petite valeur de n pour laquelle |0«! existe, et écrivons toutes les égalités (E). Quand n atteint une certaine valeur/, le système [ r"\ devientrégulier, c'est-à-dire que s,i est toujours nul. Puis n continuant à croître, il arrive une valeur />/, à partir de Inquelle on a à la fois, .Ç/, = o, co,, = o, d'après le théorème fondamenlal, et alors on a

On a donc les égalités

ri-x — /V-2 = /i^" — W/-1)

En ajoulant, on obtient la formule très intéressante valable ou égal à l — I

(A ) rn = -F-^ —i-kn + k,

où k' désigne une nouvelle constante {positive ou négative) (jui, comme /:, ne dépend pas de n. Ces deux constantes k et k' dépendent du groupe-base; mais, tandis que la recherche de k se ramène à un problème de Géométrie plane, la recherche de A', cpii dépend à la fois des lignes-bases et des points-bases, est beaucoup plus difficile.

Comme exemple, considérons le cas particulier où le groupebase se réduit à une courbe simple de degré t/, de genre/?, avec t points triples. INous avons vu que le nombre des conditions pour fpi'une surface d'ordre n suffisamment grand passe par cette courbe est égal à

nd — p — ■?.t -\-\] donc

( Al. -f- [ U /i -+• 2 ) ( Ai + 3 )

— I — nd -+- f) -i- 'li

cl, par suite,

1:2. Connaissant k et k' , relatifs à un groupe-base donné, la formule (A) ne donne la dimension du système des surfaces I ^'^ I cjue pour n suffisamment grand.

Pour n^l — 1 , la formule est exacte.

Pour n<^l— \, il faut ajouter à la valeur (A) la dlIFérence

hz=n-hl II -/1-+I

et l'on a

(az -I- i)('a? -h -Of/i -f- 3 )

— 1 — kn + // -i- V to/, — \ sn ,

la première somme s'annulant à |)arlir de /« = / — i , et la seconde à parlii- de /« = / — i .