III. — Du système linéaire des surfaces sous-adjointes

13. Nous avons déjà défini les surfaces sous-adjointes à une surface donnée /(^, y, ^) = o. Une surface cp(j7,)', 3) = o est sous-adjointe à /, si une section plane arbitraire de / a pour adjointe la section plane correspondante de la surface o.

L'ensemble des surfaces sous-adjointes à / d'un ordre donné forme évidemment un système linéaire de surfaces, dont la dimension peut être supérieure ou égale à zéro.

Il existe toujours des surfaces sous-adjointes d'ordre r^n — i, ji étant l'ordre de la surface /, puisque telles sont les surfaces polaires des points de l'espace par rapport à/, jointes à une surface d'ordre /* — /i + i .

14. Nous reportant à ce que nous avons dit relativement aux intégrables doubles de première espèce au Chapitre VU du premier Volume, on peut montrer que si '.p est une sous-adjointe, l'intégrale double

r r oi X, y, z) dx dz

est finie à distance finie, sauf peut-être en un certain nombre Limité de points singuliers de la surface. Le seul point à établir est évidemment que cette intégrale reste finie en général le long des lignes multiples. Or, sur une ligne multiple, Vx d'un point est une fonction a[z) de z holomorphe dans le voisinage d'une valeur Y, d'ailleurs arbitraire, de z. Cela posé, envisageant la section plane f{x^y^ z) = o, l'intégrale

relative à cette courbe restera finie au point multiple, intersection du plan z^=z avec la ligne multiple, puisque o est une

(1) Dans la dcfiniLion des surfaces sous-adjointes, comme dans celle des surfaces adjoinlcs qui sera donnée dans la Section suivante, nous nous plaçons à un point de vue transcendant entièrement didérent du point de vue algébrique de M. Enriqucs.

adjointe. D'autre part, le quotient -J- est susceptible, sur la sur-

face, d'un certain nombre de développements suivant les puissances croissantes fractionnaires de ^ — a{z), soit

Jy

On a évidemment a> — i, puisque l'intégrale (2) doit rester finie, et les coefficients A sont des fonctions holomorphes de z. En posant

l'intégrale (1) devient

(A a^4- . . .)duch

et, sous cette forme, on voit bien qu'elle reste finie autour du point u^=. o, z = v.

La réciproque est d'ailleurs immédiate. Si l'intégrale (i) reste finie en général le long de toute ligne multiple, la fonction cp définit une sous-adjointe; il faudra, en effet, que l'intégrale

reste finie autour des points de rencontre du plan z = z avec la ligne multiple, sinon le nombre a, considéré plus haut, serait < — I, et l'intégrale double ne serait pas finie.

15. Nous avons défini les surfaces sous-adjointes à / par la condition que leurs sections, par des plans arbitraires généraux, soient des adjointes de la section correspondante sur /. On peut se borner, dans la définition, à considérer seulement des sections planes passant par une droite arbitraire donnée.

Soit A une droite occupant, par rapport à la surface, une position arbitraire, la coupant, par exemple, en des points distincts; on suppose qu'une surface '^ soit telle que sa section, par un plan général passant par A, soit une adjointe de la section correspondante de/. Il faut montrer qu'un plan général de l'espace coupe -^ suivant une adjointe de la section correspondante de/.

Ce théorème est évident pour les lignes multiples ordinaires.

8o CHAPITRK IV.

Si, par exemple, la surface a une ligne multiple d'ordre ui, avec des plans tangents en général distincts, la surface ^ aura certainement cette ligne comme ligne multiple d'ordre p. — i, puisque les plans passant par A donnent des adjointes, c'est-à-dire des lignes avec points multiples d'ordre u. — i. La surface ^ admet donc, en un point général de la ligne multiple, |i. — i plans tangents, d'où la conclusion indicpiée.

La proposition est moins immédiate si les lignes multiples sont de nature quelconcpie. Ou peut faire le raisonnement de M. Enriques, qui demanderait peut-être à être un peu plus développé.

Nous avons dit qu'il existait toujours des surfaces sous-adjointes d'ordre r^ n — i , soit /' = /i — 3 + p ^ /i — i . Considérons, d'une part, toutes les surfaces o sous-adjointes d'ordre /■, coupant de la manière voulue un plan général de Fespace, et, d'aulre part, les surfaces 'i; coupant de la manière voulue seulement un plan général passant par la droite A. Les surfaces cp et les surfaces 'l forment deux svstèmes linéaires de surfaces, et le système 'l contient le système cp. Il faut montrer que ces deux systèmes coïncident. En effet, si l'on désigne par t: le genre d'une section plane générale de /, et, par suite, d'une section plane passant par A, une surface cp coupe, en dehors des lignes multiples, la surface /suivant une ligne y dont Tordre est égal au nombre des points d'intersection dey avec un plan arbitraire, qu'on peut supposer passer par A; ce nombre est égal à 27: — 'A-{-on^ en vertu de l'hypothèse faite. 11 est le même pour la courbe y' d'intersection d'une surface ^ avec /. Les courbes y et y' sont donc de même ordre. Cela [)Osé, un plan cpielconque a coupant la surface /suivant une courbe K, coupera les cp suivant un système linéaire de courbes adjointes à K, et les ^ suivant un système linéaire qui contiendra le premier. Or, une courbe de l'un et l'autre système coupe Ken 27: — -2-\-;^n points en dehors des points multiples. Ces points multiples absorbent donc le même nombre de points de rencontre avec K pour l'un et l'autre système, donc l'intersection des J> par un plan arbitraire est une adjointe.

Dans le cas où l'ordre des cp serait < /i — i , il suffirait d'adjoindre à cp un nombre sufhsant de plans arbitraires, de manière à avoir un ordre supérieur k n — i , et de répéter le même raisonnement.

SYSTEMES LINEAIRES DE SURFACES, ETC. 8l

16. On peut donner, de la proposition précédente, une démonstration presque intuitive, avec les intégrales doubles.

On peut supposer que la droite A est à l'infini dans le plan xy\ le faisceau de plans est alors -3 = const. Soit un plan arbitraire qu'on peut prendre sous la forme x ^= Xq'^ l'intégrale

ip

o(.T,y, z) d.T riz

reste finie en général le long des lignes multiples, puisque, par hypothèse, la courbe :p(^, j, z) ^=^ o est une adjointe de la courbe f\x^y,z)^^o. Or, l'intégrale précédente peut s'écrire sous la

forme

r r o( x, y, z) dy d.v

elle est finie, en général, pour tout point à distance finie ^ donc

/ 7^^ — {xq arbitraire)

l'intégrale

relative à/(a7o-jK, ^) = o est finie pour le voisinage du point multiple considéré de la ligne multiple, et, par suite, la courbe '•d[xo, y, ^) = o est une adjointe delà courbe /(^o> JK? ^) = o. Le plan x = Xq pouvant être regardé comme un plan arbitraire de l'espace, le théorème est démontré.

17. La dimension d'un 'système linéaire | $v | de surfaces sousadjointes d'ordre v s'obtiendra en appliquant la formule (A) du n" 11. Supposons qu'il s'agisse des surfaces dont l'ordre v^m — ^3, m étant l'ordre de la surface /. Le système des courbes planes déterminé par les | $v | sur un plan général a peut ne pas être complet, mais il est certainement régulier^ et l'on a par suite ^Sh= G. Soit- le genre d'une section plane de la surface, on aura

En désignant, comme précédemment, par l>m — 3 le nombre à

partir duquel le système des courbes planes est complet, on a

Tv = I — A:v ^ '^ ^ 2d ^"^''^

en convenant que le terme I(o^ s'annule pourvu / — i, et les w^ étant les défauts relatifs aux systèmes des adjointes planes d'ordres v-j-i^ v4-2, ..., / — i. Dans cette formule, A' désigne une constante indépendante de v.

IV. — Du système linéaire des surfaces adjointes et du genre numérique.

18. Le système des surfaces sous-adjointes est un système de surfaces dont le groupe-base ne contient que des lignes. Il est défini par le comportement d'une de ses surfaces le long des lignes multiples de la surface àonnée f[x, y, z) = o, de degré m, sans qu'il soit question des points multiples isolés, que peut posséder la surface, par lesquels une surface sous-adjointe arbitraire ne passera pas en général. Lors donc qu'on effectuera une transformation birationnelle, une surface sous-adjointe ne se transformera pas en une surface sous-adjointe, si, à la surface /, correspond une surface F, telle qu'à un point multiple isolé de /correspond sur F une courbe multiple d'ordre au moins égal à deux.

19. Envisageons maintenant les surfaces adjointes d^ ordre m — 4 q^ie nous avons définies au Gliap. VII du premier Volume, à propos des intégrales doubles de première espèce. Elles forment un système linéaire, désigné sous le nom de syMème canonique, de dimension /?^ — i ,

dans lequel chaque surface cj d'ordre m — 4 peut servir à former une intégrale double de première espèce

^j^ r rq(.T,r,z)d.vdr

Nous avons vu que le nombre /J>o., genre géométrique de la surface, était un nombre invariant (t. I, p. t93), c'cst-à-dirc

qu'il est le même pour deux surfaces qui se correspondent birationnellement, et la même démonstration (t. I, p. 207) établit V invariance du système canonique. Cette invariance est exprimée par l'identité

(a) \ fl D(X, Y)

les Q étant les polynômes adjoints d'ordre M — 4 relatifs à la surface F, supposée de degré M.

Le système |K| appartient évidemment au système des sousadjointes d'ordre m ~ 4, mais avec des points-bases en plus. Ce système est défini par la condition que sa surface générale se comporte le long- des lignes multiples de /comme une sous-adjointe, et ^v\i. points multiples isolés de manière qu'en ces points l'intégrale (I) reste finie. Cette dernière condition se traduit toujours d'ailleurs par un certain nombre de relations homogènes et linéaires entre les coefficients.

Nous sommes donc bien dans les conditions où nous nous sommes placés au début de ce Chapitre, relativement au comportement d'un système de surfaces le long de lignes-bases données (ît en des points-bases donnés.

20. Nous avons défini les surfaces adjointes d'ordre //? — 4 au moyen des intégrales doubles de première espèce. Des considérations du même genre vont nous permettre, en restant toujours au point de vue transcendant, de définir les surfaces adjointes, à une surface donnée/, d'ordre supérieur à m — 4.

On peut d'abord, par une transformation préalable, faire en sorte que la surface / ne présente à l'infini aucune singularité isolée, c'est-à-dire que tous les points multiples isolés soient à distance finie. Cela posé, le polynôme q\x^y,z), d'ordre m ~ 4 H- r, étant le plus général de son degré, envisageons l'intégrale double

q{x, y, z ) dx dy

et cherchons les conditions auxquelles ce polynôme q doit satisfaire pour que cette intégrale reste finie et déterminée pour tout

point à distance finie. Nous arrivons d'abord à la conclusion que la surface q{x,y,z) = o doit se comporter le long des lignes multiples comme une sous-adjointe. Quant au comportement en un point multiple isolé O, que nous supposerons être l'origine des coordonnées, on mettra la fonction q sous la forme

où 'f/ désigne l'ensemble des termes homogènes de degré /, et effecluant alors successivement les transformations qui permettent de réduire la singularité, on arrivera nécessairement à un certain nombre de relations linéaires et homogènes entre les coefficients des cp jusqu'à un certain rang, et qui seront les mêmes, quel que soit ï'ordre m — ^\ -\- r de la fonction q. ^Jous arrivons donc à cette conclusion que les surfaces adjointes forment un système linéaire de surfaces qui se comportent le long des bgnes multiples comme les surfaces sous-adjointes et qui, en outre, aux points multiples isolés, se comportent d'une manière déterminée indépendante de leur ordre. Si donc la surface f admet des adjointes d'ordre /?? — 4 , on pourra dire que les adjointes d'ordre m — 4 + r ont le long des lignes multiples et aux points multiples isolés le même comportement que le système canonique | K|.

Remarquons que nous ne disons rien relativement au comportement des surfaces q à l'infini. En exprimant que l'intégrale (I) reste finie à l'infini, on retomberait sur les adjointes d'ordre

En particulier, si la surface / n'a d'autres singularités que des courbes multiples ordinaires d'ordre i et des points multiples isolés ordinaires de l'ordre A, les surfaces adjointes sont déterminées par la condition d'avoir ces lignes comnAe lignes multiples d'ordre « — I, et ces points comme points multiples d'ordre

Le système adjoint et le système sous-adjoint peuvent coïncider. Cela a lieu, par exemple, lorsque la surface/ne possède pas de points multiples isolés, ou lorsque ces points sont d'ordre 2. Il en est de même pour une surface / qui possède une courbe double et, sur cette courbe, un certain nombre de points multiples isolés d'ordre A, qui soient d'ordre !lll!-Zlll pour la courbe double, par exemple un point triple de la courbe double.

21. Rappelons encore une remarque faite (l. I, p. 207) relative aussi bien aux sous-adjointes qu'aux adjointes. Ces surfaces, en dehors des lignes multiples et des points isolés qu'elles doivent contenir, peuvent encore, de ce fait, passer par certains points simples ou par certaines courbes simples de la surface, du moins tant que leur degré ne dépasse pas une certaine limite. Nous en avons donné des exemples. Voici, sur le même sujet, une observation importante.

Supposons que, considérant/ et sa transformée F, il j ait sur/ un \^o\ni fondamental, c'est-à-dire un point simple de la surface qui se transforme en une courbe, courbe exceptionnelle (en général une droite) de la surface F. Soit la courbe A correspondant au point a. Nous allons démontrer que toutes les adjointes d^ ordre M — 4 ^^ F passent par A. Supposons le point a a l'origine des coordonnées. Dans l'entourage de ce point, z est une fonction holomorplie de x et y. A un point de la courbe A

correspond une valeur de -, et l'on aura

P et S étant holomorphes en X et Y dans le voisinage du point considéré de A, et S s'annulant pour les points de A. Partons alors de l'identité (a)

des équations (P) on déduit

D(X, Y) ~ [dX âY ôYàx)'

et l'on en conclut que les adjointes a, Q, +...-1- ^-/,„Q^„=o passent bien par la courbe A.

22. De la définition que nous avons donnée des surfaces adjointes, on peut conclure que le théorème du reste, établi au Gbap. I dans le cas des surfaces sous-adjointes, s^ étend aux surfaces adjointes. En effet, les surfaces adjointes étant des sousadjointes si l'on désigne par cp, d», y trois adjointes dont la pre-

inlère passe par deux groupes de courbes P el Q, la seconde par P et Q', la troisième par P' et Q, on a l'égalité

•^(^, y, z) yjT, y,z) = a(.r. y, ^)/(.r, y, z) -\- {ii(^, r, z)o(a:, y, z).

Nous pouvons d'ailleurs supposer que l'adjointe cp ne se comporte pas d'une manière spéciale aux divers points singuliers isolés, c'est-à-dire qu'elle se comporte en chacun de ces points comme une adjointe arbitraire d'un degré suffisamment élevé. Cela posé, nous avons sur la surface, d'après l'identité précédente,

^{cp,y,::-)yj-r,y,z) ^ '^{t, y, z) <^(x, y, z).

La surface [S = o, qui est nécessairement une sous-adjointe, doit être de plus une adjointe. Pour montrer qu'il en est bien ainsi, envisageons un point singulier isolé A; on sait que le voisinage de ce point sur la surface peut être représenté par un certain nombre de développements où .r, y, z sont des fonctions bolomorplies de deux paramètres u et v dans le voisinage de n = o, vz=o. Prenons l'un de ces développements, et considérons l'intégrale double

'* o ( .X. y, z ) cl.T c/y

fj

On peut écrire, en appliquant un théorème classique de AVeier-

strass sur la décomposition en facteurs d'une fonction de deux

variables,

dr dy P ( m, c^ ) du d^>

0(f<, v) étant un polynôme en u, dont les coCÏÏicients sont liolomorphes en v dans le voisinage de t^ = o ; de plus, P(^/,(') et Q(w, (^) n'ont pas de facteur commun holomorj)he en u et i^, s'annulant pour f^ — o, v =^ o. D'autre part, soit

pour que l'intégrale reste finie, il faudra (jue ^\>{u,v) contienne en facteur Q(/^ v). Avec ])lus de précision, si

les q étant des polynômes en u irréductibles, <1> contiendra r/,,

^2, " -, qm en facteur aux puissances respectives Les deux fonctions

contiendront ^o ^2, • • -, Ç'n «w mom5 aux puissances respectives \^i, [^2, ■ ■ -, y-rm et si Ton pose

on déduit de l'identité

que B(i^, v) contient cji, q., --•, qm au moins aux puissances ji., ao, . . ., [J^m et, par suite, au moins aux puissances a,, ao, . . ., y-m Or l'intégrale double

pouvant s'écrire

B{u, v) P{u^ ^) du dv

restera alors finie pour le voisinage de A correspondant au développement considéré; il en est par suite de même des autres, et enfin nous pouvons conclure que

Ux,y,z)^o

est une surface adjointe.

23. La dimension ^m-k^r d'un système linéaire de surfaces adjointes d'ordre v := m — 4 + /* est donnée, comme pour les sous-adjointes, par la formule

dans laquelle on a

r, étant le genre d'une section plane de la surface, et k'^ une constante indépendante de v ; en général, le nombre k" est différent du

nombre // qui se présentait dans la formule analogue relatif aux sous-adjointes.

Appliquant la formule (E) du n" 11, on a

d'où, en tenant compte de la valeur de /r, la relation qui nous sera bientôt utile

dans laquelle to s'annule à partir d'une valeur suffisamment grande de r,

24. Considérons en particulier le cas des surfaces adjointes d'ordre ?7i — 4 5 ^^ dimension N;„/, est alors égale au f^enre géométrique de la surface, /?o^, diminué d'une unité; on a donc

/>.-!= ^i/,v.-i-//+ 2^ to/,.

Introduisons maintenant un nouveau nombre /?,ï, que nous appellerons le genre numérique de la surface, et qui est défini par l'égalité

Pu — I — 7; I — A V -4- A- ;

on a la relation

qui, pg étant déterminé, défînit/?„, résultat que l'on énonce de la manière suivante :

La différence entre le genre géométrique et le genre numérique d^une surface f d^ ordre m est égale à la somme des défauts des systèmes de courbes découpées sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes à f d'ordre supérieur ou égal à m — 3 .

Pour établir V invariance du genre numérique pn, il suffira

donc d'établir r invariance de la somme ^w^. C'est une ques-

lion que nous traiterons dans un Chapitre suivant, après avoir fait l'étude des systèmes de courbes sur une surface. U égalité fondamentale

a été introduite dans la théorie des surfaces par M. E nriques (^ ).

25. La surface est dite 7'e^w/«è/'e quand on a/?^ = /?,^, et, dans ce cas, tous les défauts f^m-zi ^m-'i.', • • • sont nuls.

Nous allons établir, avec M. Castelnuovo (^), que si to,„3 = o et tO;;j o= o, tous les autres co seront nuls et par suite que la surface sera régulière. Dans cette hypothèse, les surfaces adjointes d'ordre m — Set d'ordre m — 2 déterminent sur un plan des systèmes I r^^~^ I et I T^~'- \ qui sont complets et réguliers, cette dernière propriété appartenant, comme nous l'avons vu, à toutes les adjointes à partir de l'ordre m — 3. Faisons d'abord seulement l'hypothèse iù,n 2 = o : on en conclut, en appliquant le lemme du n° 7, que le système composé d'une courbe T"^~- et d'une droite variable est complet. Or, une surface adjointe 0'"~' coupe le plan suivant un système linéaire jouissant de la propriété précédente, puisque une <b^~^ comprend en particulier une $"^~- et un plan- donc le système | <î>'"~^ | découpe sur un plan arbitraire un système complet et régulier, et par suite

on démontrerait de même que tous les autres défauts sont nuls. Ainsi de la seule hypothèse (o„i 2= o, on conclut

Si donc on fait à la fois l'hypothèse iùm^=: o et lliypothèse tOrfi 2 = o, on aura

to — o.

et la surface sera régulière.

(') Enriques, Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche {Mem. delta Societa italiana d. Scienze, t. X; 1896). (^) Mémoire cité au n" 6.

26. En réalilé, M. Caslelnuovo a étal^li (/oc. cit.) que la condition (o,„3=o suffit pour qu'une surface soit régulière, c'està-dire que cette condition entraîne tO/„2=<^- Nous ne démontrerons pas cette élégante proposition et nous ferons seulement, en terminant, la remarque que si (.o„i-;i= o et si la section de f par un plan arbitraire est une courbe normale, la surface sera régulière.

Nous avons vu (Gliap. II, n" 24) qu'une courbe plane normale est une courbe telle que la série g]^^^ déterminée par les droites du plan soit comj)lète. Soit donc une telle courbe que l'on peut supposer n'avoir que des points doubles, et soit d leur nombre. Nous avons vu que la courbe n'est certainement pas normale, si l'on a

la relation

Nous ne pouvons donc que faire les deux livpollicses

ou

Supposons d'abord qu'il n'y ait pas d'adjointe d'ordre ni — 4 ou qu'il n'y en ait qu'une seule, ce qui entraînera nécessairement

La dimension /•,„3 des adjointes d'ordre m — /6 est - — i; soit /•la dimension de la série niininium L, somme de gl^ et de g'^^l^t on aura

C'est ce qui résulte de la considération de la série minimum L, quand on Tassujettità contenir deux points fixes A et B arbitrairement pris sur la courbe. Sa dimension est alors /• — 2. D'autre part, elle doit contenir la série linéaire de groupes de points obtenue avec les adjointes d'ordre m — 3 passant par A et les droites passant par B, ce qui donne une série linéaire de dimension r„i^] on peut avoir une seconde série en intervertissant le rôle des points

A et B. Les deux séries ainsi trouvées n'ont d'ailleurs pas de série linéaire commune, puisqu'il n'y a pas d'adjointe d'ordre m — 4 ou cju'il n'y en a qu'une, ne dépendant pas par cons('quent de paramètres arbitraires.

On a donc bien

Or

{ni-—\){ m — 2 ) ,

Mais la dimension du système complet des adjointes d'ordre

supérieur à 2m — 4, et par suite

m — 2 est — ci ou im — 4- iJonc r ne peut être

Le système minimum est donc le système complet. On en déduit que les surfaces adjointes d'ordre m — 2 coupent le plan suivant le système complet : donc (o,„2=^ o-

Supposons maintenant qu'il y ait des adjointes d'ordre m — 4? et en ayant toujours

{in — i) { m — 9, )

la dimension de ce système d'adjointes sera

/' — rf -h î,

£ étant supérieur ou égal à zéro suivant que le système n'est pas régulier ou est régulier. Nous allons montrer que s = o.

La série ^r^.o-,^ déterminée par les adjointes d'ordre ni — 4 est contenue dans la série canonique g^:^!., : il existe par suite un système résiduel g'^'^.\ or, d'après la loi de réciprocité de Brill- Nœther, on a

2 ( /• — r ) — m -— {9.T. — 2 — m ) OU

d'où l'on déduit, en tenant compte des valeurs de /• et de t:,

Si donc £ n'était pas nul, la série gl, ne serait pas complète, puisqu'il existerait un système ^;;;(/''> 2), la comprenant. La conclusion est la même que précédemment, le système des adjointes d'ordre m — 4 est régulier.

On peut appliquer alors le lemme fondamental en partant des adjointes d'ordre m — 4, et la démonstration est immédiate. Il faut seulement remarquer que, dans le cas de

la condition s = o nous apprend qu'il n'y a qu'une seule adjointe d'ordre m — 4, ce qui nous ramène au cas précédent.

I. — Remarques générales concernant les systèmes linéaires de courbes sur les surfaces.

1. INous avons déjà parlé dans le premier Volume (Gh. VIII, § III) des systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface algébrique /(x,y, ^)=:o. Nous nous sommes bornés alors à quelques remarques générales importantes que nous allons rappeler succinctement.

Un système linéaire | G | de courbes sur la surface /se compose de l'ensemble des courbes d'intersection de la surface / avec le système linéaire des surfaces

1L| aoLo-^-alLl-^. ..-f-a,.L/. = o.

Le système |G| aura même dimension r que le sjstème |L|, s'il n'existe aucune relation linéaire entre les L sur la surface/.

La courbe générale d'un système linéaire peut être réductible ou irréductible. Dans le cas où elle est réductible, elle se composera en général d'une partie fixe et d'une partie variable. Gette partie variable peut, elle-même, être réductible ou non : nous avons démontré que, si elle est réductible, elle se compose nécessairement des courbes d'un faisceau. Si la courbe variable générale est irréductible, elle peut d'ailleurs se décomposer pour certaines relations entre les paramètres a.

La courbe générale d'un système peut avoir aussi des points fixes, points-bases. On peut toujours supposer que ces points sont des points simples de la surface /, en effectuant une transformation convenable. Pour la courbe générale du système, ces points peuvent être simples ou multiples.

2. Lorsqu'on parle d'un système linéaire de courbes |G| sur la surface/ on ne considère en général que V ensemble des courbes variables. Par système irréductible nous entendrons par conséquent un système dont la courbe variable générale est irréductible, sans nous occuper de la partie fixe, si elle existe. Dans certains cas il y a lieu pourtant, comme nous le verrons, de distinguer les systèmes irréductibles avec ou sans partie fixe.

Rappelons encore que la courbe variable d'un système ne peut pas avoir, en dehors des points-bases, des points multiples qui n'appartiennent pas aux lignes multiples de la surface/, et que les points variables d'intersection doivent décrire la surface tout entière. Le de<^ré n du système est le nombre des points d'intersection variables de deux courbes générales du système : on a ,. , <ji^ et, pour /' = I , Al = o. Cette définition du degré suppose naturellement que la dimension du système est supérieure ou égale à un, r^ i .

Le système est simple si la condition de passer par un point de la surface n'entraîne pas, comme conséquence, pour les courbes du système, l'obligation de passer par d'autres points déterminés par le premier.

3. Disons quelques mots relativement aux courbes fondamentales d'un système. Cette notion nous sera utile dans le Chapitre suivant lorsque nous aborderons l'étude des courbes adjointes à un point de vue géométrique. On entend par courbe fondamentale d'un système |C| une courbe qui n'impose qaune condition aux courbes de ce système qui peuvent la contenir. Une courbe C assujettie à passer par un point arbitraire d'une courbe fondamentale doit la contenir tout entière, sauf le cas ou ce point serait un point fixe du système |C|. Une courbe fondamentale n'est donc pas coupée en des points variables par la courbe générale du système, et réciproquement une courbe qui n'a, avec la courbe générale d'un système |C|, aucune intersection variable ne peut être qu'une courbe fondamentale pour ce s;ystème. Le système de toutes les courbes C qui contiennent une courbe fondamentale, c'està-dire ce que l'on appelle le système résiduel de la courbe fondamentale par rapport au système |C|, est de dimension / — i , si r est la dimension de |C|, comme il résulte de la définition

DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES SUR LES SURtACES. Cj5

même. Ce système résiduel aura avec la courbe fondamentale des points d'intersection variables.

On dit qu'une courbe fondamentale est propre ou impropre suivant que le système résiduel de cette courbe par rapport à |C| a lin genre inférieur ou égal au genre t: de la courbe générale C.

4. Rappelons encore qu'on donne le nom de courbes exceptionnelles aux courbes de la surface qui, par une transformation birationnelle, peuvent correspondre à des points simples de la surface transformée. Nous avons déjà eu occasion de considérer ces courbes dans le Chapitre précédent.

O. On peut, comme nous Tavons vu (T. [, Cliap. VU), obtenir des transformées de la surface considérée au moyen des surfaces qui déterminent le système |G|, soit dans l'espace S^, /' étant la dimension de |G|, soit dans un espace de dimensions moindres. Ce sera, par exemple, dans l'espace S/-, la surface définie par

L, U Lr

ou, dans l'espace S3, une surface définie par

Les sections planes, ou hyperplanes, d'une transformée ainsi obtenue correspondent aux courbes C du système |C|. Nous aurons souvent à faire usage de pareilles transformations.

Si le système |C| a des courbes fondamentales, à l'une de ces courbes correspondra, sur la surface F transformée que nous venons de définir, un point, en général multiple. Les sections hyperplanes passant parce point correspondront au système résiduel de la courbe fondamentale par rapport à | G|. Leur genre sera donc inférieur ou égal à t: suivant que la courbe fondamentale sera propre ou impropre.

6. Parmi les systèmes linéaires que l'on peut tracer sur une surface y, il y a lieu de distinguer en particulier ceux qui, étant simples et irréductibles, ne possèdent ni points-bases, ni courbes

fondamentales, et qui permeltent de transformer la surface donnée en une surface sans singularités dans riivpcrespace, donc en une surface n'ayant que des singularités ordinaires dans l'espace à trois dimensions. La question de l'existence de pareils systèmes se rattache étroitement à celle de la réduction des singularités d'une surface algébrique (T. I, Ghap. IV), que nous avons traitée précédemment. Que l'on envisage en effet les seize fonctions

qui nous ont servi (T. I, p. 79) pour transformer une surface/ en une surface sans singularités dans l'espace à quinze dimensions,

le système

aoPi-r -+- aiPo-r-i- . .. +«131^4=0

déterminera sur la surface primitive / un système qui n'aura pas de courbes fondamentales propres, puisque si l'une de ces courbes existait elle donnerait Heu à un point multiple.

Il n'est donc pas douteux, sans entrer dans les détails d'une démonstration minutieuse, qu'on peut toujours, en prenant des surfaces L, qui déterminent un système [G| d'ordre suffisamment grand, faire en sorte que ce système soit simple, Irréductible, sans point-base, sans courbes fondamentales, et qu'il permette de transformer la surface donnée en une surface sans singularités dans l'hypcrespace, donc en une surface n'ayant que des singularités ordinaires (courbe double et points triples) dans l'espace à trois dimensions. Nous donnerons à un pareil système le nom de système pur et non singulier.

7. Faisons encore quelques remarques essentielles relativement aux transformations blrationnelles. Lorsqu'on effectuera sur la surface/une transformation blrallonnelle, le système | G | se transformera en un système |G'|; si le premier système est complet, le second le sera, et il est évident que les principaux caractères du système, à savoir sa dimension r, son degré n, et le genre 71 de la courbe générale G, supposée irréductible, seront des invariants. Une remarque pourtant est nécessaire relativement aux courbes exceptionnelles, courbes qui correspondent, sur la surface transformée/', à des points simples de/. Si à un point-base O de |G|

correspond une courbe exceptionnelle sur/', on ne devra pas considérer cette courbe comme faisant partie de la courbe transformée C de C, en sorte que C peut être regardée comme le lieu des points correspondants aux points de G, excepté le point O. Mais si le pomt de /qui donne lieu à une courbe exceptionnelle n'est pas un point-base de |C|, il faudra considérer cette courbe exceptionnelle comme faisant partie de la courbe G^ transformée de la courbe G qui passe par ce point.

Ges définitions, au premier abord arbitraires, sont choisies, comme nous le verrons plus tard, de façon à pouvoir conserver à certains énoncés toute leur généralité.

8. Enfin, si l'on envisage sur la surface/ deux systèmes |G, | et I G2 1, le nombre des points d'intersection variables d'une courbe G, et d'une courbe G2 est aussi un invariant, et la série de groupes de points déterminée par toutes les courbes de | G^ |, par exemple, sur une courbe générale G< aura aussi ce caractère. Telle est, en particulier, la série caractéristique g''~' d'un système |G|, qui est découpée sur une courbe G par toutes les autres courbes du système.

9. Donnons, avant d'approfondir l'étude des systèmes linéaires, la démonstration d'un théorème que nous n'avions fait qu'énoncer (T. I, p. 198) et qui va se présenter comme la conséquence presque immédiate de la proposition relative aux involulions établie au Ghap. III, nM3.

Il s'agit de montrer que, sur une surface algébrique, un système algébrique de dimension k de courbes irréductibles qui est tel que par k points arbitraires ne passe qu'une seule courbe du système, forme nécessairement un système linéaire, pourvu que k soit supérieur à un.

Soit f{x, y., z)=z o l'équation de la surface S; en la coupant par un plan :; == ^0, l'équation de la courbe d'intersection sera /(^,y, ^o)=o. Le système algébrique envisagé déterminera sur cette courbe une involution, rentrant dans la catégorie de celles que nous avons étudiées. Elle pourra donc être obtenue par une équation linéaire telle que

p. ET S., II. . „

gS ciiAPiTRi-: V.

dans laquelle les cp peuvent a priori dépendre algébriquement de Zq. Mais alors, pour des À arbitraires, en faisant varier ^o et revenant à la valeur initiale, on pourrait obtenir une autre involution, et k points arbitraires à^ f[x,y^ z^)=^ o appartiendraient à deux groupes. Les cp, ou du moins leurs rapports, contiennent donc 3o rationnellement, et le système algébrique étudié se réduit bien à un système linéaire.

10. Le ihéorème précédent n'est pas toujours vrai pour A- = i , comme le montre l'exemple des surfaces réglées sur lesquelles il existe un système algébrique de génératrices, tel que par un point quelconque de la surface ne passe qu'une courbe génératrice, et qui, en général, n'est pas liuéaire.

M. Humbert a montré, comme nous l'avons dit, que le théorème subsiste pour /r = i , lorsque la surface n'a pas d'intégrale de première espèce; et, d'après M. Gastelnuovo, il subsiste pour les surfaces régulières (^^z=^,^), mais la démonstration de ces résultats nous entraînerait trop loin.

11. Le théorème établi au n" 9 est du à M. Enriques; sa démonstration est d'une tout autre nature. Nous nous bornerons à la donner pour Je cas de â= 2.

Fis. 7.

Am

Soit m le nombre des points variables de rencontre de deux courbes quelconques du système. Toutes les courbes du système, passant par un point A,, passeront par /n — 1 autres points r/c'terminés Ao, . . ., h.,n, car les m — i autres points de rencontre de deux courbes passant par A,, ne peuvent être mobiles, sinon plus de deux courbes du système passeraient par deux points arbitraires.

Donc à chaque point de la surfacey*correspond un groupe bien

déterminé G„i de jn points, et deux tels groupes déterminent une courbe G du système.

Aux groupes G,n, on peut faire correspondre uniformément une surface F, par exemple de la manière suivante : Soit

un groupe arbitraire; prenons trois polynômes quelconques ^('^iXi -), ^ii^^r^ ^), R2(^,r?-)^ et posons

Y = Ri{a:,y, z) -^ ^ g, (:p, jK, ^),

On fait correspondre ainsi à la surface/ une surface F(X, Y, Z). A chaque point de/ correspond un point de F, et à chaque point

Fiff. 8.

de F un groupe G,„ de m points de/. Au système de courbes sur/ correspond un système de courbes sur F, et ce second système est

Fij

déterminé d'une manière unique par deux points arbitraires ; le degré de ce système est égal à un. Par suite, si Ton considère sur F deux faisceaux du système pivotant autour de O et O', il n'y aura qiiun point de rencontre : la surface F sera unicursale. Soient

lOO CHAPITRE V.

aet ^ les coefficients angulaires des tangentes OT, O'T'. Les courbes du faisceau correspondent à a = const., ^ = const., c'està-dire à deux systèmes de droites pivotant autour de ù et ù' . Toute courbe C du réseau sur F sera déterminée par une relation homographique entre a et p, et comme la droite ÙQ' se correspond à elle-même, cette relation sera du premier degré et non fractionnaire. La courbe G a donc pour correspondante une droite

Aa + Bp-I-G= o,

d'où, sur la surface F, une équation de la forme

AX(X,Y,Z)+B[jl(X,Y,Z)+Gv(X,Y,Z) = o.

Il suffit de remplacer X, Y, Z par leurs valeurs en x,y, z, et le théorème est démontré.