II. — Des systèmes complets

12. Ces préliminaires étant posés, nous allons, pour faire l'étude des systèmes linéaires de courbes sur une surface/, suivre la même marche que pour les séries linéaires de groupes de points sur une courbe (Chap. II, p. 23). Soit donc un système linéaire (quelconque de courbes |C| défini sur la surface f{x,y^z)— o parle système de surfaces

(L) aoLo-l- aiLi -^. ...-^ a;,L,,— o.

Nous avons vu que le théorème du reste relatif aux courbes s'étend aux surfaces. En appliquant ce théorème, nous montrerons d'abord qu'w/i système linéaire quelconque |C| peut toujours être obtenu au moyen d'un système linéaire de surfaces sous-adjointes ou de surfaces adjointes d'un ordre suffisamment élevé, assujetties, s'il est nécessaire, à passer par un certain nombre d'éléments fixes (courbes ou points) de lasurface.

Soit G' une certaine courbe de | G | déterminée par une surface L' de (L). Par G', faisons passer une sous-adjointe ^' , ce qui sera toujours possible en prenant son degré assez élevé ; on obtient ainsi une courbe résiduelle Y' .

Soit maintenant L une autre surface de (L) qui détermine une

courbe G du système : envisageons le produit

qui s'annule pour G, G' et T'. Gette surface composée passe par l'intersection defei U, et l'on a donc, en appliquant le théorème du reste,

D'où l'on déduit que cp est une sous-adjointe, passant par G et r', du même ordre que o' . Par suite, on a, sur la surface S,

L/cp'= L'cp/ (i = o, i, . . ., r), donc

cp'(aoLo-- ^i Li + . . .+ a,,L,,) = L'(aoCpo-l-. . .-}- cCrOr),

les surfaces cp passant toutes par T'. Par conséquent, l'équation (L) peut être remplacée par l'équation

(*) ao9o-^.• --^ a/-Ç/-= o,

qui détermine comme la première sur S le système linéaire de courbes | G].

Les surfaces sous-adjointes cp passent par les points-bases du système |G|, et elles ont, en ces points, avec la surface / des contacts qui dépendent du comportement des courbes du système. Si le système contient une partie fixe, elles passent par cette partie fixe.

13. Nous nous sommes servis de surfaces sous-adjointes, dans le raisonnement précédent; on peut tout aussi bien employer des surfaces adjointes, puisque le théorème du reste s'applique à ces surfaces. Il résulte d'ailleurs de l'égalité

Lcp' L'O rri: O,

que si cp' est une adjointe, il en est même de i:p ; on n'aurait qu'à reproduire les raisonnements faits au § 22 du Ghapitre IV.

Dans la plupart des démonstrations qui vont suivre, on pourra indifféremment employer l'un ou l'autre des deux systèmes de surfaces.