I. — Première définition des intégrales de seconde espèce

1. On sait combien, dans la théorie des fonctions algébriques, la distinction des intégrales abéliennes en trois espèces joue un rôle important. Dans un grand nombre de questions, les intégrales de première et de seconde espèce sont particulièrement intéressantes à considérer. Il est naturel de chercher à faire pour les intégrales doubles attachées à une surface algébrique, c'està-dire pour les intégrales doubles

Jj^{x,y,z)dxdy [f{x,y,z) = o]

(où R est rationnelle en x, y et z), une classification plus ou moins analogue. Nous avons vu, dans le cours de cet Ouvrage, l'importance des intégrales doubles de première espèce attachées à une surface.

Nous nous proposons, dans ce chapitre, de poser les bases d'une théorie des intégrales doubles de seconde espèce dans la théorie des surfaces algébriques, et de montrer comment la notion d'intégrale de seconde espèce conduit à un nombre invariant, qui paraît distinct de ceux qui ont été considérés jusqu'ici.

Considérons une surface algébrique

(ME. Picard, Sur les intégrales doubles de seconde espèce {Comptes rendus, 6 décembre 1897 et 24 janvier 1898; Journal de Mathématiques, 1899 Comptes rendus, 10 octobre 1899).

l6o CHAPITRE VII.

el soil une intégrale double relative à cette surface

(i) / / K{x,y,z)dxdy,

R étant rationnelle en x^ y et ::. Nous allons tout d'abord définir ce que nous entendons par intégrale double de seconde espèce. Prenons sur la surface un point arbitraire A, que l'on peut toujours, par une transformation préalable, supposer à distance finie. Si le point A est un point simple, nous dirons que l'intégrale (i) présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce, si l'on peut trouver deux fonctions rationnelles U et V de x,y^ z^ telles que, après avoir formé l'intégrale double

la différence des intégrales (i) et (2) reste finie au voisinage de A (on considère, bien entendu, z comme fonction de x et y quand on prend les dérivées partielles de U et V par rapport à ^ et y). Si le point A est un point multiple de/, on sait que l'on peut partager le voisinage de A en un certain nombre de régions, telles que chacune d'elles corresponde birationnellement à une région R située sur une surface F, et ne comprenant que des points simples de F; l'intégrale (i) présentera en A le caractère d'une intégrale de seconde espèce, si ses transformées, par chacune des substitutions birationnelles à employer, présentent, en tous les points de la région correspondante R de la surface correspondante F, le caractère d'une intégrale de seconde espèce. Si, en tout point A de la surface/ (à distance finie ou à l'infini), l'intégrale (i) présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce, cette intégrale sera dite une intégrale double de seconde espèce. Il est clair que les fonctions rationnelles U et V à employer pourront varier avec le point A.

2. Il importe tout d'abord de remarquer que la forme des expressions (2) est de nature invariante relativement aux transformations birationnelles. On s'en assure de la manière suivante. Envisageons d'abord l'intécrrale

SUR LES INTEGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPECE. iGl

OÙ ^ — '- — - représente le déterminant fonctionnel des deux fonc-

tions P et Q de ^ et y; si l'on remplace les variables ^ et j^ par de nouvelles variables x' etjr', l'intégrale devient évidemment

et garde par suite la même forme. Or, l'intégrale (3) rentre manifestement dans le type (2), puisqu'on peut l'écrire

Ceci posé, on peut donner à (2) la forme suivante :

en faisant un changement de variables, on aura

JJ D(a7',jK) -^ J J D(^',y) ^

et, d'après ce que nous venons de dire, chaque terme de cette somme et, par suite, la somme se mettent sous la forme

L'intégrale (2) a donc conservé la même forme quand on a remplacé les variables ^ et jr par les variables x' et y'; c'est l'invariance que nous voulions établir.

3. Remarquons, avant de continuer, qu'une définition analogue à celle que nous venons de donner pour les intégrales doubles de seconde espèce peut être adoptée pour les intégrales simples de seconde espèce dans la théorie des courbes algébriques. Si l'on a la courbe

les intégrales abéliennes de seconde espèce

K{x,y)dx,

j(3i CHAPITRE Y II.

relalives à celle courbe sonl telles que, pour tout point A de la courbe, on peut trouver une foncllon rationnelle U(^,y), telle Que la différence

resle finie dans le voisinage de A.

4. On sait que, pour une courbe algébrique, il n'existe qu'un nombre limité d'intégrales abéliennes dislincles de seconde espèce, c'est-à-dire qu'il existe un nombre limité d'intégrales abéliennes J de seconde espèce, donl aucune combinaison linéaire n'est de la forme

(-) /sï"'"

(U étant rationnelle en x etj), et telles que toute autre intégrale de seconde espèce est «ne combinaison linéaire des intégrales J, à un terme additif près de la forme (a).

Nous devons nous demander s'il en est de même dans la théorie des surfaces algébriques. Nous allons montrer, pour répondre à cette question, qu'jï existe un nombre limité o dhntegralesi de seconde espèce, dont aucune combinaison linéaire n est de la forme

/P et Q étant rationnelles en .^, j cl z), et telles que toute autre 'intégrale de seconde espèce est une combinaison linéaire des intégrales J, à un terme additif près de la forme (?). La démonstration de ce résultat sera la conséquence d une longue suite de transformations de calculs qui vont faire 1 objet des sections suivantes. Nous aurons ensuite à montrer qu une intégrale double de seconde espèce relative à une surface / se change, auand on transforme birationnellcment / en une surface F, en une intégrale de seconde espèce de la surAice F. Ce fait ne resuite pas seulement du calcul du n"2 et demandera quelques explications complémentaires.