Si nous nous rappelons maintenant l'identité I H(X, Y, Z

d rA(X, Y, Z)] d rB(X, Y, Z)1 2

et si nous faisons dans les deux membres l'intégration double précédemment indiquée, les deux premiers termes du second membre donneront zéro, et par suite l'intégrale double

ffk

I K(iy^z)^„,,

sera nulle pour le continuum indiqué. Or sa valeur est précisément

IMf^ [^(o,V,Z) = o,

cette intégrale simple étant prise sur un très grand cercle F dans un feuillet de la surface de Riemann F(o, Y, Z) = o. Donc l'expression

K(o, Y, Z) Fi(o,Y, Zl

a tous ses résidus nuls pour Y = co. Par suite, quand on écrira que cette expression est la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z, ou, ce qui revient au même, quand on écrira que l'intégrale abélienne

Sèrrll'" i'<°''''^'-i

SUITE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 2l5

est une fonction rationnelle de Y et Z, on n'aura pas besoin d'écrire que les périodes polaires correspondant aux points à l'infini sont nulles. Il suffira d'écrire que les 2t, périodes cycliques sont nulles, ce qui d'ailleurs n'exigera, comme il est bien connu, que des opérations algébriques.

8. Le résultat que nous venons d'obtenir aurait pu être démontré encore plus simplement, on du moins on aurait pu y arriver, en restant dans le même ordre d'idées, sans passer par les développements en séries dont nous avons fait usage. Reprenons l'intégrale primitive