JJ

et posons

Aux valeurs X = o, Y = go considérées tout à l'heure correspondent (puisque X.' = —, Y' = y)

L'intégrale primitive se transforme en

en désignant par F(X', Y', 7J) = o la nouvelle équation de la surface.

Cette seconde intégrale, prise le long de deux petites circonférences autour de X'= o. Y' = o, est nulle, puisque l'intégrale

Fi.

(Y' étant constant et très petit), prise le long d'une petite circonférence autour de X'= o, est manifestement nulle. Or, puisque

aux deux cercles très petits C et C, autour de X'= o, Y'=o correspondent dans le plan Y un cercle très grand, et dans le

2l6 CHAPITRE VIII.

plan X un cercle très petit si les rayons de G', et G' sont eux-mêmes dans un rapport très petit; nous retrouvons donc le résultat obtenu dans un des paragraphes précédents.

9. On peut encore retrouver à un autre point de vue les 2 t: conditions exprimant que l'intégrale double (i) est de seconde espèce. Si nous envisageons la courbe entre ^ et 5

les périodes de l'intégrale abélienne

rp(x, y, z)dx

seront nécessairement des fonctions dey.

Parmi ces périodes se trouvent les périodes logarithmiques correspondant aux divers points à l'infini de la courbe précédente. Examinons d'abord la nature de ces périodes logarithmiques. Soit prise l'équation de la courbe sous la forme

f,n{x, z) ^yf,n-x{x, z) ^ . . .-\- y'^f^^ o,

les / étant des polynômes en ^ et c de degrés marqués par l'indice.

Si nous posons

l'équation deviendra

(7) F,„(X, Z)-f-7XF,,,(X, Z)-4-...-^7-X'«Fo=o.

D'après nos hypothèses sur la disposition arbitraire de la surface par rapport aux axes, l'équation ,

aura ses m racines distinctes que j'appellerai Z,, Zo, . . ., Z,„. La courbe (^) passe, quel que soit y, par m points fixes

(O, Zi), (O, Z2), . . ., (O, Z,n).

Dans le voisinage du point (o, Z/), le développement de Z suivant les puissances de X sera de la forme

les a étant des polynômes par rapport à y, comme le montre

immédiatement le calcul des dérivées successives de Z pour X :=: o. Si Ton cherche alors le résidu de l'intégrale (6) pour le point (o, Z/), on trouve immédiatement que ce résidu est un polynôme en y. II en résulte que les périodes logainthmiques correspondant aux points à r infini sont, pour l'intégrale (6), des polynômes en y.

10. Outre ces m résidus (se réduisant évidemment km — i), l'intégrale (6) a en général iiz périodes cycliques qui sont des fonctions de^, et l'ensemble de ces périodes satisfait à une équation différentielle linéaire E^ d'ordre

dont les coefficients sont rationnels en y. En raisonnant comme à la page 97 du Tome I, on voit de suite que le point y —-00 n'est pas un point critique de l'équation E'; toutes les intégrales de cette équation ont ce point comme pôle ou comme point ordinaire. Soit