Ces préliminaires posés, soit l'identité

U, V, cp et ^ étant des poljnomes en x k coefficients rationnels

CHAPIIIIE IX.

en y, l'expression

(P) Alog^p

const. )

n'aura, à dislance finie, d'antres courbes logarithmiques que des

courbes de la forme

y — const.,

et les courbes

Si donc une intégrale de troisième espèce a pour courbes logarithmiques les deux lignes

quand on en retranchera l'expression ([6) avec une valeur convenable de A, on fera disparaître les courbes logarithmiques (y) pour les remplacer par les courbes logarithmiques

Une conséquence importante se déduit immédiatement de ce résultat. Si, pour le polynôme donné /(^, y), que nous supposerons, pour fixer les idées, de degré impair m en x, il n'esL pas possible de trouver un polynôme en x irréductible

avec coejfficients rationnels en y et de degré -7-^ — - au plus, tel que y pour

^fi^oc^y) soit susceptible de se mettre sous la forme d^ une fonction rationnelle en x et y, on pourra, par la soustraction dUin certain nombre de logarithmes, faire disparaître d"* une intégrale de différentielle totale toutes les courbes logarithm,iques à distance finie, à l'exception de courbes

y = const.

s' il peut y en avoir.

De plus, par des raisonnements analogues à ceux que nous avons employés dans la section précédente pour la démonstration du théorème fondamental, on est conduit à la conclusion suivante :

S^il existe des polynômes <hi répondant à la condition précédente, on pourra trouver un nombre p tel qu'il n'y aura pas d'intégrale de différentielle totale de troisième espèce ayant seulement , pour courbes logarithmiques à distance finie la totalité ou une partie des couples de courbes répondant aux p polynômes

mais tel qu'il existera une intégrale ayant seulement pour courbes logarithmiques le couple de courbes correspondant à

et la totalité ou une partie des couples de courbes correspondant à 'h^, t|;2, . . ., '}p.

Nous ne parlons pas dans cet énoncé de courbes logarithmiques qui coriespondraient 'd y = const., qui ne sont pas exclues.

Dans cet énoncé, le nombre o pourrait être nul, c'est-à-dire qu'il pourrait arriver dans certains cas qu'à tout couple de courbes répondant à 'bi correspondît une intégrale.