On voit, étant donnée l'équation
l'importance des relations
•hier, y) = o,
telles que, au moyen de ces relations, z soit susceptible de se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y.
Le cas le plus simple est évidemment celui de m = "i. On a alors l'équation
z- ^ ci{y) x^ -!- b{y) x'^ -i- c{y ) x h- d{ y),
a, &, 6', d étant des polynômes en y. 11 s'agirait de rechercher s'il existe des fonctions rationnelles ^ et ;r de y ^ satisfaisant à l'équation précédente.
La question est beaucoup plus complexe qu'elle ne le semble au premier abord; c'est ce que montrera de suite un cas 1res simple ('). Je suppose que la relation se réduise à
f étant un polynôme de troisième degré en x n'ayant que des racines simples, et F(jk) un polynôme de degré .ip -{- i sans racines multiples. Nous allons montrer qu'il n'existe pas en général de fractions rationnelles z el x àe y satisfaisant à l'équation précédente, sauf les solutions immédiates
a étant une racine de f{x) = o. Supposons qu'il existe d'autres
solutions; on aura
dcc dx ¥{y) dy
De là on déduit que l'intégrale de première espèce
dx
se transforme, en prenant pour x une fonction rationnelle de y, en l'intégrale
^^Hy)
R (y) étant rationnelle en y. Gomme cette intégrale doit être aussi de première espèce, il faut que R(j') se réduise à un polynôme de degré p — i , et, par suite, une fonction rationnelle x dey répondant à la question doit satisfaire à la relation
P(jk) étant un polynôme de degré p — i au plus. Réciproque-
(') E. Picard, Sur la résolution de certaines équations à deux variables et sur un théorème de M. Nœther {Bulletin des Sciences mathématiques, 1901). — Sur certaines surfaces dont toutes les intégrales différentielles totales se ramènent à des combinaisons algébrico-logarilhmiques {Annales de l'Ecole Normale supérieure, l'joS).
ment d'ailleurs, si une fonction rationnelle x de j satisfait à une telle relation, on aura
dx
v//(^)F(jK) = F(j)
dy
et, par suite, z sera rationnelle en y.
Des considérations précédentes il résulte tout d'abord que, pour un poljnome donné du troisième degré, si le polynôme F(jr) est arbitraire, il ne sera pas possible de déterminer une fonction rationnelle ^ de^^(ne se réduisant pas à une constante) satisfaisant aux conditions voulues. En effet, il ne sera pas possible de trouver une intégrale de première espèce relative au radical y/F(r) ajant seulement pour périodes les deux périodes de l'intégrale
ch
Par salle, en général, pour la surface
[f{x) étant du troisième degré, et F(jk) de degré 2/?-f-i], toutes les intégrales de différentielles totales se ramèneront à la forme
v//(^)F(jK)
oii P et Q sont des polynômes en x, à coefficients rationnels en y.jy\{\\e\ivs, en retrancliant de l'intégrale une fonction rationnelle convenable en x, y et z, on peut supposer que P est de la forme
Aa7-+-B,
A et B étant des fonctions rationnelles dey. Alors les périodes de l'intégrale relative à x
(A.r + B) dx
ne doii^ent pas dépendre dey. Or il est aisé de voir que l'on ne
peut choisir des fonctions rationnelles A et B de j)^ (sauf A=:B=:o)
telles que les périodes de cette intégrale satisfassent à la condition
P. ET S, Ti. ^^
indiquée. Soient, en effet, les deux intégrales
/dx r X dx
dont nous désignerons par co,, Q, et too, 0^ les périodes correspondantes. On devra avoir
Al>,-hBto,
A 1>2 -h B to
G, et Go étant des constantes; or les valeurs de A et B ainsi déterminées ne sont évidemment pas fonctions rationnelles àe y.
17. Nous concluons, de l'étude du paragraphe précédent, rpie les intégrales de différentielles totales relatives à la surface
se ramènent toutes en général à des combinaisons algébricologarithmiques.
11 y a un cas particulier, où nous ne sommes pas assurés de cel te conclusion, c'est celui où l'on peut trouver un poljnome P(jr) de degré p — i , de telle sorte que l'équation
soit susceptible d'être vérifiée par une fonction rationnelle .r de j^ (ne se réduisant pas à une constante).
Approfondissons le cas où le poljnome F(jk) se réduirait à /{y)] alors P(jk) doit être une constante G (puisque p= i), et nous avons l'équation
dx dy
— — — = G (G étant une constante).
Gettc équation se rencontre dans la théorie de la multiplication des fonctions elliptiques. Supposons que les fonctions elliptiques correspondant au poljnomedu troisième degré/(^') n^ admettent
IxMÉGRALES DE DIFFÉREiNïlELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. 257
pas la multiplication complexe; alors C sera nécessairement un nombre entier réel m, et si, avec les notatioQS de Weierstrass, on pose
et que p(a) dési-ne la fonction elliptique correspondante, on aura d'abord la solution
y^p(u), x = p(mu);
X ainsi obtenue est une fonclion rationnelle de y. On a en outre
m dy
qui est bien rationnelle en y. Nous désignerons par R„,(jk) l'expression de X en fonction de y; on a évidemment
J^'équation
dx dy
H\oo) "' \ff{y)
admettra d'autres solutions x fonctions rationnelles de j/; il est facile de trouver leur expression générale. Si l'on pose
•^ = P(^), r = P("), Téquation précédente devient
dç = m du.
d'où
v = inu-{-K (K étant une constante.) Or, comment doit être choisie la constante K pour que de
X =p{niu-\-K), y^pi^n^^
on tire pour x une fonction rationnelle de jk- H faut et il suffît que
/?iu + K et — mu 4- K donnent pour ^ la même valeur, quel que soit a. Ceci exige que
^ vw H- v'w' ï^ — j
V el v' étant des entiers, w et to' étant les périodes de p{u). INous aurons donc pour K quatre valeurs conduisant à des fonctions rationnelles distinctes ; le cas de v = v' = o est ceUii qui a été considéré ci-dessus.
Nous allons étudier la disposition sur la surface des différenis couples de courbes correspondant aux diverses fonctions rationnelles X dejK, qwe nous venons de trouver.
Prenons d'abord la première série ( v =: v' =z o).
-18. Pour la courbe du troisième degré entre z et œ
on a la représentation paramétrique (avec le paramètre ( )
Si l'on coupe la courbe par une droite quelconque, la somme des valeurs des v correspondant aux points de rencontre est égale à zéro à un multiple près des périodes.
Les valeurs v ^= ± u correspondent à x=^y^ et les valeurs ç = zt:mu correspondent à la fraction rationnelle œ de r, dont nous avons parlé plus haut. On obtient ainsi, sur la courbe précédente, une succession de points; il est facile d'obtenir pour ces points une «génération géométrique, qui va nous être très utile.
Si l'on mène la tangente au point A correspondant à
x=^y, z=J{y), elle rencontre la courbe en un troisième point B pour lequel on a
V = — 'lu;
le symétrique B' de B par rapport à O^ correspond à
En joignant le point A. au point B', le troisième point C d'intersection de la droite AB' avec la courbe correspond à
Prenons le symétrique G' de G par rapport à Ox, pour lequel
r = 3^^; la droite ACJ donne un troisième point pour lequel
V = — Ui,
et, ainsi de suite, on obtiendra tous les points correspondant à V = ±1 mu.
Considérons les deux points correspondant à u et — mii^ la droite qui les joint coupe encore la courbe au point correspondant à (m — i)u. Soit
z — ace + b,
Téquation de cette droite, où a el b sont manifestement des fonctions rationnelles de y.
Le polynôme du troisième degré en x
(ax-^-bY-f{x)f{y) aura pour racines
Ri(7), R,„-i(7) et R,„(jK).
Si donc nous revenons à la surface
1 expression
/ N . , ax -\-b -{- Z , . ,
(a) A loff ï ( A étant une constante )
^ ^ ^ ax -^ b — z ^ '
aura, comme courbes logarithmiques, les trois couples de courbes
z = ±:<yax-\-b), ;r = R/,(jk),
OÙ A* a les trois valeurs i , m — i et m.
Donc si une intégrale de différentielle totale admet le couple de courbes logarithmiques correspondant à /• = /?«, on pourra, par la soustraction de l'expression (a) avec une valeur convenable de la constante A, faire disparaître ce couple de courbes et le remplacer par les couples de courbes correspondant à A' = i et k = ;?i — I. En allant ainsi, de proche en proche, on arrivera à n'avoir plus, comme courbes logarithmiques, que les couples de courbes correspondant à
k — I et k =■ 2; mais, pour ce dernier cas, on peut, d'après la construction in-
26o CHAPITRE IX.
(Ilqiiée plus haut, déterminer a et h rationnelles en y, de telle sorte que
admette Ri (y) comme racine double, et Ro(j^) comme racine simple, et alors k = •>. est ramené à A* = i .
19. Nous n'avons encore considéré que la première série de couples de courbes, celle qui correspond à
L'étude des trois autres séries sera très facile. Prenons par exemple la série correspondant à
Ç = ± 7}IU -h - j
■jt et désignons par
la fonction rationnelle correspondante.
Considérons, comme plus haut, sur la courbe entre z el x
Le point A correspondant à
les coordonnées de A sont
X — -pi 77X11 -+- -^ J j z — p i 17111 -h — j .p'( M).
Envisageons aussi le point B correspondant à v = -• Ses coordonnées sont
X = 1, z — o (a étant une racine de /).
l^a droite joignant A et B rencontre la courbe en un troisième point correspondant à
Désignons par
z = ax + b
la droite joignant ces points {a et b sont rationnels en y). L'équa-
lion du troisième degré en x
(ax-^by--f{x)f{y)=^o
admettra, pour racines a, Ojn{y) etR;„(jK). Si donc on revient à la surface
l'expression
ax -^ b -\- z ^ ax -^ b — s
admettra, comme courbes logarithmiques, les deux couples de courbes correspondant à
^ = ?>n{y) et x=R,n{y)-
On peut donc, par une soustraction convenable, ramener le premier couple de courbes logarithmiques au second. Mais les couples de ce type viennent d'être étudiés, et nous avons vu que l'on pouvait se borner à envisager les couples de courbes correspondant à X = y.
Finalement, toute intégrale de différentielle totale relative à la surface
et de la forme
V dx ^(l dy
oii P et Qsont rationnelles en x et y, peut^ par la soustraction d'expressions algébrico-logarithmiques convenables^ être ramenée à n'avoir à distance finie d'autres courbes logarith iniques que le couple de courbes correspondant à
Nous ne parlons pas des courbes correspondantes à ^ = a [où a serait nécessairement racine de /(^)J, qui ne peuvent être des courbes logarithmiques pour les intégrales envisagées.
L'intégrale sera donc de la forme
P dx -^ Qdy
{x-yyn^f{x)f{yy P et Q étant des polynômes en x, à coefficients rationnels en y.
Enfin des réductions tout élémentaires permettent de ramener cette intégrale au cas de m ^= \ .
20. Or il est aisé de voir qu'il ne peut y avoir, pour la surface d'intégrale de différentielle totale de la forme
^{oc, y)dx -\- Çlix, y) dy
où Pet Q sont des polynômes en .r, à coefficients rationnels en y. Avant de le démontrer directement montrons que cela résulte indirectement des remarques faites dans le Chapitre précédent au sujet de l'identité étudiée précédemment (p. 199),
dx
S'il existait une intégrale de la forme indiquée, on aurait nécessairement
<) ùx
[-Q(^,y)-| ù r l'(.r,7)-| D'ailleurs, on a évidemment
G (G étant une constante).
Si donc de (i) on retranche l'identité (2) multipliée par C, on obtiendra une identité de la forme
fiy) ^^l - J ^7 L - J
où P, et Q, sont des polynômes en x, et cette identité est impossible, car l'intégrale double
dx dy.
prise le long du continuum envisagé (loc. cit.)^ serait nulle, ce qui est inexact.
21. Démontrons maintenant directement qu'il ne peut j avoir, pour notre surface, d'intégrale de la forme
P d.r -^ Q dy
{^x—y)ij\x)f{y)
Les périodes de l'intégrale relative à x
V {t, y) dx
ne doivent pas dépendre du paramètre y . En particulier, l'expression
doit se réduire à une constante^ cette constante est différente de zéro, sinon les deux lignes correspondant à x '= y ne seraient pas des courbes logarithmiques, et nOus serions dans le cas étudié plus haut. On peut supposer que la constante est égale à un.
Si l'on considère d'une manière générale l'intégrale ci-dessus, P étant de la forme indiquée, et avec la condition
les périodes cycliques de celte intégrale sont des fonctions dejK? la période polaiie étant iizi. Les points singuliers de ces périodes regardées comme fonctions de y sont les Irois racines de f{y) et le point à l'infini.
Envisageons dans le plan de la variables le cjcle F comprenant à son intérieur deux des racines a et 6, et laissant j^ à son extérieur, et supposons jK voisin de «.
Nous avons pour une détermination de \J f{oc) en un point A du contour {Jig. S), et pour une détermination de sjf{y)> "ne
période délerminée to. Supposons, pour fixer les idées, que la délerminalion de \Jf{oc) en A soit celle qui devient \if{y), quand ^ va de A en jK par un chemin rectiligne. Faisons maintenant décrire à r "n chemin fermé autour de a. Le cycle F va se déformer, fuyant en quelque sorte devant jr, et nous aurons, quand j sera revenu à sa position initiale, une nouvelle position V du cycle F correspondant à la seconde figure où l'on a supposé, comme il est permis, que seulement la portion de F comprise entre le point A et nu autre point B s'est modifiée.
Au point de départ S^ifig- t), le signe de \/f{y) n'est pas le même dans les deux cas, puisque y a tourné autour de a\ les éléments de l'intégrale ont donc des signes différents au départ.
Il est alors aisé de voir ce que devient (o, quand )^ a tourné autour de a\ on reconnaît de suite, en comparant les deux figures, que
w se transforme en — w — \r^L
Faisons maintenant décrire k y un autre chemin enveloppant
les trois points a^ 6, c. Quand y revient à son point de départ, le
radical \lf{y) a changé de signe, rien par ailleurs n'étant modifié ;
par suite
w se transforme en — w.
Or 03 doit rester invariable, puisqu'il est Indépendant djy; on a
OJ = o.
D'autre part, la circulation dey autour de a changeant m en — 0) — L\rû, on voit que l'on arrive à un résultat absurde. Nous en concluons que l'intégrale, dont nous avons supposé l'existence, ne saurait exister. Donc toutes les intégrales de différentielles
totales relatives à la surface
s'expriment par des combinaisons algébrico-logarithmiques . On a seulement supposé que les fonctions elliptiques correspondant au poljnome f{x) n'admettent pas de multiplication complexe.
22. Relativement à cette dernière circonstance, faisons seulement Tétude d'un cas particulier ; des considérations analogues s'appliqueraient à tous les cas de multiplication complexe. Soit
l'équation
djr ^ ^ dy
\/f{^) \/7îF)
ne pourra être vérifiée par une fonction rationnelle x de jk, que si
(s racine cubique imaginaire de l'unité).
Les fonctions rationnelles x àe y se déduisent, en raisonnant comme plus haut, des équations
OÙ K est une demi-période.
A ces fractions rationnelles peuvent correspondre des couples de courbes logarithmiques pour les intégrales de dififérentielle s totales considérées. On verrait, comme ci-dessus, que l'on peut se borner à K = o, et considérer par suite les fractions rationnelles x de y correspondant à
y =z jp{u)^ X z= p\^{ m -\- m ) ii\.
En particulier, pour /?2 = i , n=z o, on a la solution déjà considérée X =^ y, et, pour /?2 =r o, /i = i , on a ^ = zy.
On va voir que tous les couples de courbes logarithmiques peuvent être rajnenés auK deux couples de co irbes correspondant à
X =■ y et X = zy.
Tout cr abord le raisonnement fait plus haut, pour montrer que tons les conples de courbes correspondant à
y = p(u), x = p{mu)
se ramènent à x =y, est encore applicable.
On verra pareillement que tous les couples de courbes correspondant à
y = p{u), T = p(nzil)
se ramènent au cas de /i — i , c'est-à-dire à ^' = zy. Soit enfin le cas général correspondant à
y=:p{ii), x=:p(v), OÙ V = {jn-^ ni)a.
Nous considérons sur la courbe entre ;:; et ^
z'^=f(x)p'HiO
le point
x = p{v), z =p'{v)p'{u) [v = {m-\- ni)ii\.
Il est en ligne droite avec les deux points avant les coordonnées
x = p{mu), z ^p'{—mu)p'{u),
X = p{mu), z = p'(—nzu)p'{u),
puisque la somme des arguments
{m -i- m)ii, — mu, — nza
correspondant à ces trois points est nulle. Soit
z = ax -^ b ^'
l'équation de la droite joignant ces trois points, où a et b sont des fonctions rationnelles dey. Alors, en revenant à la surface
l'expression
ax -^ b — z
^ ax -\- b -\- z
permet de ramener le couple de courbes logarithmiques correspondant à
ç = (771 -{- m)ii
aux couples qui correspondent à
p = mil et V ^^ nzu.
C'est toujours le même mode de raisonnement, et, finalement, nous sommes rauiené aux deux couples relatifs à
X — y et X = zy.
23. Par suite, dans notre exemple actuel, on voit immédiateiiient que l'on peut se borner à envisager les intégrales de dilTérentielles totales de la forme
P dx -^ Q dy
{x—y){x — ty)s/j\x)f{y)'
P et Q étant des polynômes en x à coefficients rationnels en y.
L'intégrale diffère de celle que nous avons étudiée au § 21 par la présence au dénominateur du facteur x — zy. Mais les raisonnements faits [loc. cit.) vont encore être applicables avec peu de modifications, et nous arriverons à la même conclusion, à savoir que toutes les intégrales relatives à la surface
se ramènent encore à des combinaisons algébrico-logarithmiques. Reportons-nous en effet à la figure faite plus haut; a, b^ c représentent les trois racines de \x'^ — i. 11 faudrait encore marquer le point correspondant di yz. Sijresl voisin de a, le point yz sera voisin de l'un des deux autres points. Supposons qu'il soit voisin de c. Toutes les parties du raisonnement fait au § 21 sont encore applicables, puisque le point j)/£ restant voisin de c n'amène aucune modification dans P, quand y tourne autour de a. On arrive donc encore à une contradiction, et, par suite, l'intégrale dont nous avons admis l'existence ne peut être construite, et les seules intégrales sont des combinaisons algébrico-logarithmiques.
