Examinons quelques autres cas. Soit la surface
z^- = a{y)x^-^b{y), % OÙ a et b sont des poljmomes en y. Il n'y a pas en général de
fondions rationnelles ^ et ^ ^^ y satisfaisant à cette relation. Admettons en effet qu'il en soit autrement et posons
■i/b Va
z= v/6 Z ; on aura
(3) Z^ = XJh-i.
X et Z sont visiblement des fonctions rationnelles de^ et de 0, ne se réduisant pas à des constantes, en posant
(4) 06 = ba\ L'intégrale de première espèce
de la courbe (3) doit donc se Iran sformer en une intégrale de première espèce de la courbe (4). Or a et ù étant des polj'nomes arbitraires, il n'y a pas d'intégrale de première espèce de la courbe (4) ii^ ayant que deux périodes; l'hjpothèse laite est donc inadmissible. Ce mode de raisonnement permettrait même, en approfondissant davantage, de reconnaître dans quels cas il serait possible de trouver x ^l z rationnelles en y el satisfaisant à l'équation de la surface.
i2o. Du cas particulier précédent on c onclut que, en général, on ne peut satisfaire à l'éc] nation
(où rt, ^, c, d sont des polynômes arbitraires en jk) en prenant pour z ç,\. X des fractions rationnelles de y. On exclut, bien entendu, ici comme plus haut, le cas de .r et ^ identiquement infinies. Comme, en général, une telle surface n'a pas d'Intégrales de différentielles totales de seconde espèce non rationnelles, on arrive à la même conclusion (jue plus hnut pour toutes les intégrales de différentielles totales de cette surface.
A la vérité, l'étude complète des cas où l'on peut satisfaire à
INTÉGRALES DE DIFFÉREiMIELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. 269
Téqualion (4) par des fonctions rationnelles ^ et ^ de jk ne semble pas facile. A cet é^ard, le calcul des nombres des constantes indéterminées se présentant dans le problème n'est pas sans intérêt. On ne diminue pas la généralité en supposant que «, Z>, c, cl sont des poljnomes de degré pair ini en y. Soit, de plus,
u et V étant des polynômes de degré jjl en y. On devra pouvoir choisir ces polynômes de manière que le produit
[aiy)u^ -i- b(y) ii^v -+- c(y) uv^ -+- d{y)v^]ç
soit un carré parfait. Comme le polynôme précédent est de degré 2m-i- /\ [JL, on aura
conditions à écrire. Or le nombre des constantes figurant dans u et i> (d'une manière non homogène) est
L'inégalité
montre qu'en général le problème est impossible.
En général, la surface (4) sera de genre géométrique supérieur à zéi-o, et les fonctions rationnelles ^ et ^ de y, cpii pourraient satisfaire à la relation (4), ne dépendront pas alors d'un paramètre arbitraire; car, sur une surface algébrique pour laquelle />^>> o, on ne peut avoir une suite continue de courbes unicursales. Les solutions (^, z), en nombre fini ou infini, ne pourront donc former qu'une suite discontinue. C'est ce que nous avons trouvé pour le cas étudié plus haut en détail: il y avait alors une infinité de solutions dépendant d'un entier arbitraire.
D'ailleurs, en général, pour la courbe (4), on pourra déduire d'une solution rationnelle une infinité d'autres, car, en menant la tangente au point correspondant, on aura par son intersection avec la courbe un second point à coordonnées rationnelles, et ainsi de suite, en remarquant de plus que deux points en donnent
•270 CIIAPITKE IX.
un troisième. C'est ainsi, en fait, que se sont trouvés obtenus tous les points clierchés sur la courbe z- =^ f [x) f i^y) (').
26. x\rrétons-nous encore sur un cas particulier, celui de la surface
a elb étant des poljnomss arbitraires en y. D'après notre théorie générale, nous avons à étudier les équations
(G) x^- -^-P{y)x -{-(l(y) = o ( P et Q raiionnelles en 7),
telles que, ^ ei' y satisfaisant à une telle relation, z soit fonction rationnelle de x et y. Glierclions les équations (6) jouissant de cette propriété, en supposant que a et b sont des polynômes noft spéciaux.
On aura, pour x satisfaisant à l'équation (G),
(7) sjax'^ — b ^-Mx ^ N,
M et N étant des fonctions rationnelles de J^ Soit maintenant
Si donc nous posons
on pourra écrire
on aura
ax' — b = «2(37 — 0)(a7H-0)(^-i-0i)(a7— On.
ax''— b = -.- ('îX + I) [X(i — i) -h r] [X(i -^ /) ^- i
L'identité (7) devient alors
(7'>'-^) y/^(.^X-+-i)[X(i — M-^ij[X(n-o^- 'I --- M0(n-X)X + NX2.
(^) Il csl intéressant de noter que la question à laquelle nous venons d'être conduits, de satisfaire à l'équation (4) par des fonctioas rationnelles a; et ;; de y, peut être regardée comme une généralisation du problème de la transformation des fonctions elliptiques.
ceci sons la condition que X satisfasse à la relation (8), transformée de (6),
(8) X2(02 + P0 + Q)-t-X(202 + P0)-i-62=:o. En se servant de (8), la relation (7^''^) peut s'écrire
v/^(2X-hi)[X(i-o + i][X(n-j) + ij
Par conséquent, le polynôme du troisième degré en X
est divisible par le premier membre de (8) ; il admet donc un diviseur de premier degré en X à coefficients rationnels en y et 9, Si donc nous posons
Z2 = (,,x + T) [X(i - 0 4-ij [X(i + i) H- [],
on pourra exprimer Z et X en fonctions rationnelles de jr, Sety/'^". La fonction X (nécessairement finie) ainsi déterminée doit nécessairement se réduire à une constante, car autrement l'élément différentiel
dX
/(Tx + 1) [X(i — i) ^riY[x(r^^j~^]
par la substitution de cette valeur de X, prendrait la forme
R étant rationnel en jK,, 9 et yjb. Il y aurait donc une intégrale de première espèce, relative à la courbe gauche dans l'espace (Ç, ^ 7)
n'ayant que deux périodes, ce qui n'a pas lieu pour a et 6 polynômes quelconques en y.
Le polynôme (9) en X doit donc s'annuler pour une quantité X, indépendante dey. Cette constante X doit annuler le polynon^e P. ET S., IL j3
du troisième degré
car aiUremenl y/^ s'exprimerait alors rationnellement à l'aide de 8 et de y.
Si alors X est une des racines du polynôme précédent, on aura
ox
Cette équation du troisième degré en Q doit être une identité, car 6 ne peut satisfaire à une équation du troisième degré à coefficients rationnels en y.
En développant cette équation en 8, on trouve de suite
il faut donc que
L'équation (6) est donc de la forme
et l'on a alors
Donc, s'il existe des solutions au problème posé, on a, dans l'équation
z et X-, qui sont fonctions rationnelles de j^
Posant ^- = r, nous sommes donc ramenés -â reconnaître si l'équation
peut êlre vérifiée en prenant pour (^ et i; des fonctions rationnelles de r- On peut établir facilement qu'il en est ainsi ('). Il y a même
(') Dans l'ariicle ciLé page ?54, M. Picard démontre ce fait, auquel il raUache un théorème bien connu de M. Nœther sur certaines surfaces unicursales, en faisant l'énuméralion des constantes arbitraires. On peut supposer que a et b sont de degré pair 2 m, et soit v - -, en désignant par u et w des polynômes de de-
I>rÉGIlALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. 278
une infiaité de solutions se déduisant de l'une d'entre elles; il suffit en effet de faire pivoter une droite autour d'un premier point à coordonnées rationnelles de cette conique, pour exprimer z el ç en fonctions rationnelles de jk et d'un paramètre m. En prenant pour m une fonction rationnelle de y, on aura toutes les expressions de 5 et p en fonctions rationnelles dey.
En retranchant d'une inté.;rale de différentielle totale de troisième espèce relative à la surface
-' = ^if)^'' — b(y)
des expressions de la forme
Clog(^-h P:r2 + R),
G étant une constante, et P et R des fonctions rationnelles de jr, on ramènera l'intégrale à n'avoir, en dehors peut-être de lignes y = consl., que les deux courb3s logarithmiques correspondant à une équation déterminée
du type envisagé plus haut. L'étude des intégrales de différentielles de la surface peut alors être effectuée complètement, puisque toutes ces intégrales sont susceptibles de se ramener à la forme
k dx -^-B dy
ix'^+q{y)\z'
A et B étant des polynômes en x^ à coefficients rationnels en y. En général (c'est-à-dire pour a el b polynômes arbitraires en jk), ces intégrales sont algébrico-logari ihmiques.
gré [X. Le polynôme
a{y) lû — b{y)w-
doit être un carré parfait. Comme il est de degré 2/n + 2 ;x, le nombre des conditions sera /n + [x. D'autre part, le nombre des constantes figurant dans u et (v est 2 ;x -f- i ; comme
à partir d'une certaine valeur de a, il est possible de satisfaire au problème proposé.
IV. — Sur des classes de surfaces dont toutes les intégrales sont algébrico-logarithmiques (^ ).
27. Les cas particuliers que uoiis venons d'examiner se rapportaient à des surfaces donnant des sections du genre un, pour y=^cons\.. Voici des cas plus généraux et mettant en évidence des circonstances intéressantes.
Envisageons la surface
f{x) étant un polynôme de degré 2/? + i (à racines simples) et F(j') un polynôme arbitraire. D'après la théorie générale, développée précédemment (page 260), nous avons à rechercher les courbes
de degré /j> au plus en x, telles que, pour {œ,y) satisfaisant à cette dernière équation, z soit fonction rationnelle de x et de y. Nous allons démontrer que de telles courbes n'existent pas, en dehors des courbes x = a, en désignant par a une racine de/(^). Soit
z = v/fTj) t., on aura
el l'on pourra satisfaire à cette équation en prenant pour Ç une fonction rationnelle de x^y et y/F (y), les deux lettres ^ et j étant liées par la relation ^ == o, que l'on suppose exister. Donnons à r une valeur déterminée et considérons une 'détermination de v/1' (jOî o" ^^"^^' P<^"^' -^5 les p racines x^, x^, . • . , Xp, en supposant z> de degré p et irréductible. Fornions les sommes
^U'. ^\dxi x\dx.:, x],dxp ..
Puisque \jf{xi) est une fonction rationnelle de Xi^ y ci y F {y).
(') E. Picard, Comptes rendus, t. GXXXVI, et Annales de l'École Normale. Oo3.
les sommes préeédentes seront de la forme
les Rx étant rationnelles en j et \/F(y)^ et les intégrales
seront des intégrales de première espèce. Toutes les fonctions Rx ne peuvent être identiquement nulles (à moins que les œ ne soient constants); car, des équations obtenues en égalant à zéro les expressions (E), on déduirait que deux des x sont égaux, ce qui estcontradictoireavecl'irréductibilité supposée de l'équation 'j = o. Ceci posé, nous aurons donc au moins une intégrale de première espèce relative à la courbe
qui aura les mêmes périodes qu'une intégrale de première espèce relative à la courbe
Cette circonstance ne peut se présenter si le polynôme F(j/) est arbitraire, ce qui démontre l'impossibilité de la relation :2 = o jouissant de la propriété indiquée.
Nous avons supposé le poljnomc irréductible o de degré p par rapport à x\ la même démonstration s'appliquerait si cp était d'un moindre degré que p.
De cette analyse nous concluons [en remarquant de plus que la surface
s2=/(:r)F(jK)
n'a pas d'intégrale de seconde espèce] que toutes les intégrales relatives à cette surface sont algébrico-logarithniiques. On suppose, bien entendu, que F(jk) est un poljnome arbitraire.
28. Les conclusions précédentes s'étendraient immédiatement (en raisonnant comme au n'^ 24) aux équations de la forme
z^ = a{y)x^^P^^^b(yy),
a et b étant des polynômes arbitraires en y.
29. Nous avons donc ainsi obtenu des cas particuliers assez étCDdiis pour lesquels les intégrales de difTérentielles totales de troisième espèce peuvent être étudiées. Si l'on cherche à traiter le cas d'une surface de degré m (à singularités ordinaires)
on devra considérer les courbes gauches tracées sur cette surface. Sou une telle courbe de la surface; elle coupe la courbe définie par la relation entre x et z
en un certain groupe de points dépendant rationnellement du paramètre y. Il faudrait donc étudier les groupes de points sur la courbe \)\écédei\ie qui dépendent rationneUement de j. On peut supposer que ces groupes de points ne contiennent pas plus de p points (/> désignant le genre de la courbe / pour y arbitraire); c est ce que nous allons commencer par démontrer.
Envisageons en effet un groupe de \ points 0^>p), et rappelons-nous que la dimension des adjointes d'ordre /^? — 3 + a(a^i) est
p — 2 -{- /ncL.
Or on peut choisir un nombre a dans la suite
de telle sorte que l'on ait
À-f-|a^/> — ?.-+-moL (a entier ^1).
Ceci posé, nous avons vu que les ni points à l'infini de la courbe /sont à considérer comme distincts au point de vue de la rationalité par rapport à j^. Joignons alors aux X points du groupe considéré, ji. des points à l'infini; nous pouvons dire que nous avons un groupe de À -+- iji points dépendant rationnellement de jk- Par ces A 4- a points on peut faire passer une adjointe au moins d'ordre
et, en dehors des 1 -\- a points et des points doubles, nous avons p points de rencontre. Nous sommes donc ramenés à un groupe
de p points (dont quelques-uns pourraient être à rinfîni); c'est ce que nous voulions montrer.
30. L'étude générale des groupes de p points sur la courbe /, dépendant rationnellement dey, ne paraît pas facile. Nous allons étudier seulement le cas particulier de la courbe
où P(jk) est un poljnome arbitraire de degié m. Nous considérons donc sur la courbe (a) entre :3 et ^ un groupe de p points
/? étant ICI '- dépendant rationnellement de y\
posons
on aura
ini
Sur la courbe (;3) correspond au groupe des p points de la courbe (a) un groupe àe p points dépendant rationnellement dey et de \/V{y) . Désignons ces p points par
et soit une intégrale de première espèce de la courbe ((i)
la somme
y/ii-1 "■" y/ii~i H- . . . -1- r/n—i
( OÙ les différentielles sont relatives à la variable y) sera nécessairement de la forme
Ri étant une fonction rationnelle dey et y/P(y), et l'intégrale sera nécessairement une intégrale de première espèce relative à
la courbe entre a ci y
Nous avons donc les/? équations
y,n-\ ^^ rm-l -i- . . . r- yni-\ ^^ L^ ) V \J n J
pour / = I, 2, . . . , /?.
Si ces équations admettent une solution donnant pour toute fonction symétrique des p points (ç,, Çj). • .(ç;,, S/0 ""^ fonction rationnelle de y et '\/P(yj, il est nécessaire que les périodes des intégrales
J^i{y. VP(7)] cly (.• = 1,9.,...,/))
soient des périodes correspondantes des intégrales
Or ceci est impossible, quand le polynôme P(jk) est un polynôme arbitraire de degré m (en supposant 7?^>3); car alors il ne peut arriver qu'une intégrale de première espèce relative à la courbe
n ait d'autres périodes que colles d'une intégrale de première espèce relative à la courbe
On en conclut que tous les R sont identiquement nulles, et nous avons les relations
^1/ rm-1 ^^ rni-V -r...-r- v-m-i V ' ' l'
