SI S

On peut énoncer ce résultat sous une autre forme. Soient

les valeurs dés {\. 'r{) pourjr=J^o et une certaine détermination de 's/^\yii)\ ^^ somme des intégrales

^Çn -=1 »' -Mil ^2 Ç/" V

on nous n'avons pas écrit l'élément

rm-i. '

sera une fonction de jk, dont la dérivée est nulle. Elle est donc égale à une constante (à des périodes près), et cette constante est nulle (d'après sa valeur pour y =yo)-

Les équations (y) nous apprennent d'ailleurs, si les (ç, '/"i) dépendent dey, que le déterminant

et, par suite, les points

sont sur une adjointe d'ordre m — 3.

Ceci posé, considérons une telle adjointe passant par ces points ; elle rencontre encore la courbe ( p) aux p — 2 points

(«1, pi), •••' ( 2^/^-2, P/;-2)-

Pour y = Yf^, on aura en particulier

On aura évidemment, pour toute intégrale de première espèce,

Or, si l'on a une courbe de genre p el ip — 2 points de cette courbe situés sur une adjointe d'ordre in — 3,

les conditions nécessaires et suffisantes pour que ip — 2 autres points

{\\.i ^1)? • • ■ ■) (;2/j-2j "nsp-s)

soient sur une adjointe d'ordre ni — 3 s'expriment par les p relations

formées avec les/? intégrales de première espèce.

Si nous appliquons ce résultat, nous voyons que les ip — 2 points

sont sur une adjointe d'ordre J7i — 3. Par suite, si nous revenons à la courbe entre z et x^

nous aurons sur elle le groupe des p points, dont nous sommes parti, situé sur une adjointe d'ordre m — 3, et cette adjointe rencontrera la courbe en p — 1 poinls dont les coordounées seront

La correspondance entre les deux courbes

-m = j[,n ^ Viy) et l"' = ç"' ■+- l

est d'ailleurs telle qu'à un point de la première correspondent m points de la seconde [suivant la détermination de V^P(j^)J, et les coordonnées de ces m points dilïèrent par un facteur qui est une racine /7i''"'*' de l'unité.

Il résulte de là que, pour la surface

on peut trouver une surface

de degré /?î — 3 en ^ et 3, rencontrant la surface à distance finie suivant la courbe initiale considérée (correspondant au groupe des p points), et suivant les p — 2 courbes planeç

a; — liZ = o I ).,■ = -M {l = i, -?.,..., p — 2);

il pourra y avoir aussi des courbes de rencontre correspondant à y =const., ces constantes étant racines de ^(7) = o.

Remarquons que V-^ est différent de u/i^ à cause de la relation

nous supposons ici le point (a)?, [i") à distance (inic; s'il était à

l'infini, le point (j^, z) serait à rinfnii pour j^ arbitraire, et, par suite, sans intérêt pour nous. De ce que X.- n'est pas une racine ^^^ième jg l'unité, il résulte que le plan

a; — liz = o coupe la surface suivant une courbe irréductible.

31. De ces résultats nous allons pouvoir tirer des conclusions intéressantes sur les intégrales de différentielles totales relatives à la surface de degré m

oix V{y) est un polynôme arbitraire de degré m. Par la soustraction d'expressions de la forme

Glo-

où R a la signification du paragraphe précédent et où C désigne une constante convenable, nous pouvons ramener l'intégrale à n'avoir plus à distance finie d'autres lignes logarithmiques que des courbes correspondant à jr = const. Nous faisons, en effet, disparaître parées soustractions toutes les courbes logarithmiques à distance finie, en n'introduisant peut-être que des courbes logarithmiques correspondant à des équations de la forme J = «, a étant une racine de P(r)-o, valeur pour laquelle la courbe entre z el x se décompose en m droites.

En résumé, par des soustractions de logarithmes de fonctions rationnelles, nous sommes assuré de pouvoir ramener toute intcgrale de différentielle totale relative à la surface

à une intégrale ne pouvant avoir, à distance finie, d'autres courbes logarithmiques que les droites correspondant aux sections de la surface par les plans r.= a [a étant racine de P(y)]. On n'oubliera pas d'ailleurs que toute l'analyse précédente suppose que le polynôme P(y) n'est i)as un polynôme particulier de degré ni.