Soit donc l'intégrale de différentielle totale

(E) fp{^,r, z)dx-\-q{x,y,z)dy,

n'ajanl d'autres lignes logarithmiques que les droites sections de la surface par les plans y z= a, où a est racine de P(jk)- L'intégrale

(a) fp{x,J,z)d.r

sera une intégrale abélienne pour la courbe entre z el .x

[y étant arbitraire et différent des r/), n'ayant pas de point singulier logarithmique à distance finie, puisque l'intégrale (E) n'a d'autres lignes logarithmiques que les droites sections de la surface parles plans jk = <7. On sait d'ailleurs que, par la soustraction d'une expression de la forme

on ramènera l'intégrale (a) à la forme

F (.r, Y, z ) dx

F étant un polynôme en ^ et z à coefficients rationnels en y, et l'on peut supposer que le degré de ce polynôme en ^ et 3 est au plus 'i m — 4-

Los périodes (polaires ou cycliques) de cette intégrale no doivent pas dépendre de y. L'intégrale précédente est de la forme

(if-j^'^^x-^ Z? dx

7. et j3 étant des entiers positifs (a + [^^ 2/?z — 4), et les ««p ^tant des fonctions rationnelles dey. Considérons d'abord les termes pour lesquels a 4- [i a la valeur A', comprise entre o et m — 4^ et la valeur k + m.

En posant dans l'équation de la courbe

Z'n = x'n + V {y), z = 1^ Vi^'jÔ ^t X = '^ 'VKF),

nous aurons une intégrale où

sera un facteur, et qui sera de la forme

(I) ^^iy)'" 1 \:.:,

ao^^ étant encore rationnelle en y et ne représentant pas nécessairement la même fonction que plus haut.

Envisageons ensuite les termes où a -f- ^ a la valeur /n — 3 ; on est alors conduit à l'expression