II) ^^(7)'" J
Enfin, les termes où a + [j = m — 2 conduisent à
La somme des périodes des intégrales (I), (II) et (III) doit être une constante indépendante de y. Il s'ensuit que la somme des périodes des intégrales (I) et (II) doit être nulle; sinon
satisferait à une équation d'ordre m — 1 au plus, dont les coefficients seraient rationnels en y.
Nous concluons de là que, dans l'intégrale
F (ir, X, -s) dx
\es termes qui correspondent à a 4- [B ^ m — 2 donnent une fonction rationnelle de ^, y et z. On peut retrancher celle-ci de l'intégrale de différentielle totale envisagée, et nous avons alors une intégrale de différentielle totale, dans laquelle le coefficient de dx est
Les périodes de l'intégrale
a^jo.x^z^^ dx , r • • II V
— ' ; (rtaS Iraction rationnelle)
ne doivent pas dépendre de y.
Il en sera ainsi si les Oy^o, sont des constantes, et il esl facile dans ce cas d'avoir la valeur de l'inlëgrale. Désignons pars une racine /?î''''"'^de l'unité et écrivons
log(.:; — zx)
SOUS la forme d'une intégrale de différentielle totale, et nous raplant que
^m — x"^ 4- P(jO-
Le coefficient de dx sera
r lèz \
z-zx\dx "1
ou
1 37'"—! ss'""! r 3'"— 1 t"i—'^ x"^~^ I
Z.—ZX ^'«-1 £'«-1 Z — ZX Z»'-
et Ton a, par suite, l'intégrale
dx
qui est de la forme des intégrales considérées plus haut. En prenant successivement pour £ les m racines //i"^'"*^^ de l'unité, nous aurons ainsi ni intégrales dont la somme est nulle, et l'on voit immédiatement que toute intégrale
j ~iii-ï ^ ' •'
est la somme de ni — i des intéi^rales précédenles, et s'ex[)rime
par conséquent par les logarithmes de z — zx en prenant pour £ [m — i) racines /n'''""^ £, , £0, . -, £/«» de l'unité,'
Nous avons supposé.que les a^p ne dépendent pas de y. Si les «a^ dépendent de y^ l'intégrale considérée
«aS-^^^i^ dx
aura pour valeur
les '^ étant des fonctions lationnelles àiO. y. On aurait donc une in-
légrale de différentielle LoLale
relative à la surface dans laquelle
A dx -r- B dy.
i=zin — 1 /=1
les '^ étant rationnelles en y. Mais ceci est impossible, si les cp ne sont pas des constantes, car on aurait, a cause de y- — — -?
B = — - ^ oi log(^ — s/a;) -f- fonction de y,
et cette fonction B ne peut être rationnelle en x, y el z que si les cp sont des constantes. Il en résulte que les intégrales considérées de la surface sont nécessairement de la forme
se, log(^ - ZiX) + SA log(jK - a) + R(r),
les G et les A étant des constantes, et R(jk) une fonction rationnelle de y.
Nous pouvons donc conclure :
Toutes les intégrales de différentielles totales relatives à la
surface
[où P(r) est un polynôme arbitraire de degré m], s'expriment par des combinaisons algébrico-logarithmiques.
33. Terminons en cherchant le nombre des courbes irréductibles sur la surface précédente répondant àl'énoDcé du théorème fondamental de la page 241. Étant considérée une courbe irréductible quelconque de la surface, on peut, d'après tout ce qui précède, former une intégrale de dlirérentiellc totale n'ayant d'autres courbes logarithmiques que cette courbe, et la totalité ou une partie de la courbe à Pinlîni et des droites sections de la surface
par les plans
[a étant racine de P(j')].
Or de cette intégrale on peut faire disparaître comme courbes logarithmiques les m droites obtenues en coupant la surface par le plan
<7, étant une racine déterminée de P(j^), et les m — i droites sections de la surface par le plan
£, étant une racine m'''""*^ déterminée de l'unité (la m''"'^ droite d'intersection figurant déjà parmi les m précédentes). On peut, en effet, retrancher de l'intégrale l'expression
A2 log ( j^ — «2 ) H- . • . + A,;, log {y — a,n )
-^ Bi l0g(^— £137)+ 13-2 log(^ — £0^) -+-...+ B,„l0g(^ — Z,nX),
les A et les B étant des constantes convenablement choisies de façon à faire disparaître les im — i lignes logarithmiques indiquées. Donc, en considérant les {^m — i)- lignes droites A de la surface situées dans les plans
y ^= ai ( t = '2, 3, . . . . m)
et non situées dans le plan
z — ôi.r = o,
il existe certainement une intégrale de troisième espèce ayant comme lignes logarithmiques une courbe arbitrairement choisie, et la totalité ou une partie des lignes A et de la C9urbe à l'infini. D'ailleurs, il n'existe pas d'intégrale ayant seulement comme courbes logarithmiques la totalité ou une partie des lignes A et de la courbe à l'infini. En effet, d'après le paragraphe précédent, une telle intégrale serait, à une fonction rationnelle près, de la forme
Gll0g(- - £lJ7)-f-G2l0g(^ — £237)4-...-;- G,;Jog(5— t,nX)
-f- Al log(jK — a,) +...-;- A/„ \o^{y — a„i). Or les droites de la surface dans le plan
ne doivent pas être des courbes logarithmiques. Donc, on doit avoir
Cl 4- Al = 0, C2-+-Ai=o, ..., G//î-i-Ai = o;
l'expression est donc de la forme
— Al P(j-) -h Al logCj/ — «i) -4-. . .-4- A,„ Iog(j/ — a,„), car
Donc, l'expression peut encore s'écrire
K log(j- — a,) H-. . .4- A'„, log(j/ — a,n), et, comme les droites situées dans le plan
Z — ci^C = o
ne doivent pas être des courbes logarithmiques, tous les A' sont nuls.
Le nombre désigné par o clans V énoncé du théorème fondamental est donc ici égal à
3i. Nous venons de déterminer le nombre p pour les surfaces de degré m supérieur à trois, dont l'équation est de Ja forme
Une question se pose de suite : Quelle est la valeur de o pour une surface donnée?
Nous ne sommes malheureusement pas en état de répondre toujours à une telle question, et c'est là une lacune importante dans la théorie. On pourrait seulement indiquer aisément une limite supérieure, résultant de la démonslration même du théorème fondamental, mais cette limite manque de précision. C'est surtout, comme on va le voir dans les Chapitres suivants, pour la théorie des intégrales doubles de seconde espèce que cette lacune est regrettable.
Quant à la question déjà plusieurs fois soulevée, de savoir si, pour une surface, les intégrales de différentielles totales se ramènent en général à des combinaisons algébrico-logarithmiques, P. ET S., II.
Jes exemples assez étendus qui viennent d'être indiqués tendent à faire pencher vers l'affirmative. Toutefois, le théorème assez sinf^ulier de la page 2 ^i rend hésitant dans Ténoncé d'une probabilité.
l*our ce qui concerne les surfaces dont l'équation est de la forme
z'*-=f{x,r) (tic degré 2/^ -h i en x),
il semble que l'étude des relations
o(:r, j)^) = o (de degré/? en x),
telles que z se mette sous la forme d'une fraction rationnelle de x et y [quand on a cp(jr, j) — o] ne soit pas inabordable, au moins pour des valeurs assez petites de p.
D'après les exemples donnés dans cette section, il ne paraît ])as douteux qu'il n'existe pas en général de telles relations. S'il en est bien ainsi, on a des exemples extrêmement étendus de surfaces pour lesquelles toutes les intégrales de difTérentielles totales sont algébrico-logarithmiques.
