ET CELLE DES INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES

I. — Quelques remarques préliminaires sur la forme de certaines '

identités.

1. Nous avons vu (Chapitres VII et VIII) que toutes les intégrales doubles de seconde espèce relatives à la surface

se ramènent aux intégrales

le poljnome Q s'annulant sur la courbe double. Le degré de ce polynôme Q est limité et ses coefficients satisfont à certaines relations que nous avons appris à former. Mais toutes les intégrales doubles ainsi obtenues ne sont pas distinctes, et il faut indiquer la marche à suivre pour trouver exactement le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce (-), c'est-à-dire des intégrales

(•) K. ViCAUD, Sur quelques points fondamentaux dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Acta niatheniatica , t. XXVI); Sur les relations entre la théorie des intégrales doubles de seconde espèce et celle des intégrales de dijférentielles totales {Comptes rendus, t. CXXXVII, et Annales de V École Normale, 1900 ).

(^) Le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce a été désigné par p (p. 186). Dans le Chapitre précédent figure, d'autre part, un nombre p relatif aux intégrales de différentielles totales de troisième espèce. Il ne faut pas faire de confusion entre ces deux nombres ; aussi désignerons-nous dorénavant par p^ le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce.

PQQ CHAPITRE X.

clonl aucune combinaison linéaire n'est de la form

dx dy j

A et B étant des fonctions rationnelles de ^,r et z. On répondra aisément à cette question si l'on sait reconnaître à quelles condlllons l'expression donnée

est de la forme

Ox oy

A et Bêlant rationnelles en œ.yelz: bien entendu g est regardée *comme fonction de a: et y, quand on lait les dllTérenlialions partlelles. Mais nous avons déjà indiqué à la fin du Chapitre \ III (p. 228) quelles circonstances venaient compliquer la question : c'est que l'on ne sait pas a priori, dans l'idcnllté

Qjx.y.z) ô\ ^^ On^

pour quelles courbes A et B peuvent devenir infinies.