Supposons donc que l'on ait l'identité précédente. Dési

«2 non s par

la projection de la courbe double sur le plan des xy, et par

la projection sur le même plan de la courbe de co^ntact de la surface avec le cjUndie parallèle dOz.

Dans l'identité ci-dessus, A et B peuvent devenir infinies pour diverses courbes de la surface, et l'on peut avoir a priori pour ces fonctions des expressions de la forme

■{x,y)'>'G{x,y)^'oi{x,y)^'^...'^r{'f,y)-'rfl

où 'f,, '^„ - . ., '^r représenlent des polynômes irréducliblcs en x

et r, premiers enlre eux et avec ^el G, et contenant x ; les lettres À, [7., a,, . . . , a;, représentent des entiers positifs. Quant aux numérateurs U et V, ce sont des polynômes en x et :;, à coefficients rationnels en jj^

Nous allons montrer tout d'abord que Ton ne diminue pas la généralité en supposant que les entiers a, , . . . , a,., a', , . . . , a^ sont égaux à un. En effet, considérons l'expression B comme une fonction rationnelle de x et z^ relative à la courbe entre x et ^,

on sait, par la théorie élémentaire de la réduction des intégrales abéliennes ('), que l'on peut de B retrancher une expression qui soit la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle II de x^ y gV z, de manière que

ax'

soit de la même forme que B, sauf que a', =: al = . . . =: a^'. =: i . Or écrivons l'identité

J"z " Ox '^ df

sous la (orme

ôx ^

~ ôx )

nous avons réalisé la substitution cherchée, car on a

fz ~~ àx ' âf

et, dans le numérateur de B, , les polynômes z^ , 'Jo, . . . , o,. figurent seulement à la première [)uissance. Il faut donc qu'il en soit de même dans A,, puisque

reste finie le long des diverses lignes de rencontre de z>i(^Xyy) = o avec la surface y, , et que ces lignes sont des lignes simples de rencontre pour les deux surfaces

( ' ) Pour cette réduction, on pourra consulter le Tome I de cet Ouvrage (p. 160) et aussi le Tome I, 2" éd., du Traité d'Analyse de M. Picard (p. 66).

2^'i CHAPITRE X.

On le voil immédiatement de la manière suivante. Supposons que A, renferme au dénominateur cp, à la puissance a, supérieur

à un. Alors -~ contiendra le terme ax

Or -^ est premier avec cp, (pour j arbitraire). Si donc U ne s'annule pas pour les courbes d'intersection du cvlindre o, avec la surface, ce terme aura une ligne d'infini d'ordre a, + i, que ne

renferme pas l'expression -—^f ce qui est impossible.

3. Ces considérations ne sont pas immédiatement applicables pour ce qui concerne^- et G. On peut bien dans B ramener encore, au moyen des mêmes considérations élémentaires, les puissances de ^ et G à être égales à lui, mais dans A les puissances de ^ et G pourraient être égales à deux. Soit en elfet l'identité

Tz" àx ôf' oii A et B ont les valeurs écrites plus haut, en supposant

Nous allons voir que X et a sont au plus égaux à deux. Considérons G; le cylindre

coupe la surface suivant la courbe doubler et une, autre courbey. ].e premier membre ne devenant pas infini pour un point arbitraire de l'une ou l'autre de ces courbes, il en est de même du second. Par suite, B ayant Y comme ligne d'infini double, il faudra que A ail seulement T comme ligne d'infini double. Quant à y qui est ligne d'infini simple pour B, elle sera ligne d'infini simple pour A. Il résulte de là que

ne peut avoir les lignes F et y q"e comme lignes d'infini simples.

Soit jji supérieur à deux; alors U(^,j', :;) devra avoiry comme ligne de zéro double, et il en sera de même pour F. Il en résiille que le quotient

pourra se mettre sous la forme d'un polynôme en x et z^ à coeflîcients rationnels en j^. Par suite, on passera de jjl à jji — i jusqu'à ce que jji = 2.

On ne peut faire plus loin la rédaction, puisque, pour que

ait r pour ligne d'infini simple, il suffit que U ait F pour ligne de zéro simple et, par suite,

Gix.y)

ne se mettra pas en général sous la forme d'un poljnome en x et z.

Les conclusions que nous venons de formuler pour la ligne double se projetant suivant G sont applicables à la ligne de contour apparent qui se projette suivant g.

Donc, en suivant la méthode indiquée, on voit que l'on peut

supposer

À' = ji.' = 1 et X =: a = 2.

4. En modifiant légèrement les considérations précédentes, on va voir que l'on peut supposer également que X et [x sont égaux à l'unité.

Commençons par faire une remarque relative à une courbe algébrique

Si a correspond à un point double A de /, on sait que, d'une

expression

{x — aYf'y

(P étant un polynôme en x et jk)j on peut retrancher la dérivée d'une fonction rationnelle de x et y, de manière à être ramené

2q4 chapitre X.

à a=i; c'est un résultat sur lequel nous nous sommes appuyés tout à l'heure.

On peut aller plus loin et supposer que, après cette réduction, le polynôme P(.r,y) s'annulera au point double.

Supposons en cfTel la réduction faite à a = i. Si P ne s'annule pas au point double, la fonction

a, au point A, un pôle double sur chacune des branches de courbe passant en A. On peut trouver une fonction rationnelle de x el y ayant à distance finie seulement deux pôles simples qui soient précisément le point A regardé comme appartenant à l'une et l'autre branche, les résidus, de plus, ayant pour ces doux pôles les valeurs données. Il suffira de retrancher de (i) la dérivée d'une telle fonction (en prenant pour les résidus des valeurs convenables) pour avoir une expression de la même forme, et où \^{-r^r) s'annulera au point double.

Une remarque analogue peut être faite pour le cas où la droite x = a serait tangente à / en un point A. On ])eut faire d'abord la réduction habituelle ramenant à a = i -, soit alors l'expression que nous appellerons encore (i). On voit de suite que l'on peut retrancher de (i) une expression convenable de la forme

où M(:r, j) est un polynôme s'annnlant en A et aux autres points de rencontre àe x ^=^ a avec la courbe, de telle sorte que la différence de (i) et (2) soit encore de la forme (i),mais avec cette condition que P(.r, j') s'annule en A.

5. Ces remarques faites, nous pouvons raisonner comme aux n"' 2 et 3; mais nous pourrons maintenant supposer que nous avons, dans B, non seulement

À' = tji' = r , a'i = «; = ... =: a',. = i ;

mais que, de plus, \{x,y, z) s'annule pour la courbe double et pour la courbe de contour apparent.

THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 2g)

Il en résulle qu'on peut compléter le raisonnement du n" 3. Dans

ia coiirljc double F ne doit plus être une ligne d'infini et, par suite, on peut supposer que [j. est égal à l'unité; il en est de même pour )..

Finalement, après ces réductions élémentaires, nous arrlçons à la conclusion que l' identité admise peut prendre la forme

U et V étant des polynômes en x et z à coefficients rationnels en y, s" annulant sur la courbe double et sur la courbe de contour apparent de la surface sur le plan des xy.