Nous pouvons faire diverses remarques au sujet de A et B

En raisonnant comme au n" 3 du Chapitre VIll (p. ^=^09), on

déduit de l'identité (3) que les périodes logarithmiques de l'inté-

grale abélienne

se rapportant à la courbe entre y et z

et se rapportant à un point double de cette courbe, doivent être des constantes, c'est-à-dire indépendantes de x. Or le calcul du résidu de A relatif à un point double de la courbe précédente est facile; ce résidu est égal à la valeur de

au point double, multipliée par

Or la valeur de (4), en un point double, dépend de la branche

de courbe que l'on envisage passant au point double, puisque U et G s'annulent sur la courbe double. Cette valeur est égale à

au ^ OVj ôz I dy ' dz Oy

Quant à -^ il a pour valeurs les racines de l'équation du second degré

La valeur cherchée est donc la valeur de l'expression suivante sur la courbe double

I y-- dy -^'-y dz 1^ ôz

en posant

ôy^-

^ = ^{flyY-f^J'y

D'après ce que nous avons dit, l'expression (5) doit avoir une valeur conslanle sur la courbe double. Si nous sommes dans ce que nous avons appelé le cas général [voir p. 208) où R n'est pas nne fonction rationnelle de x, y^ z quand le })oint (^, j', z) se déplace sur la courbe double, le radical Pi sera susceptible d'avoir changé de signe, quand (^,y, ^) parlant d'un point déterminé de la courbe double j reviendra, en étant restée sur cette courbe. Donc, dans ces conditions, pour que (S) reste constant, on devra avoir, en désignant par G la valeur constante de (5) sur la courbe double,

ces identités ajant, bien entendu, lieu sur la courbe double.

De là nous allons tirer une conséquence importante. Nous pouvons mettre -^, sous la forme

et celle expression est de la forme

en posant

dx dy

^i=-^ ir. Bi =

OÙ l'on a

U< est, comme U, un polynôme en ^ et g qui s'annule sur la courbe double, mais, de plus, nous allons voir que

s'annule sur la courbe double. Ceci résulte de ce que

■ et — -!^

ôy ôz

sont nuls sur la courbe double, comme on le voit immédiatement d'après les relations (6).

Ainsi donc, nous avons un résultat plus complet qu'au n*' o. Nous pouvons dire que l'on a l'identité (3), où, non seulement U et V s'annulent sur la courbe double, mais où de plus

s^ annulent sur cette courbe. On peut encore dire que les deux surfaces U = o, et V=o ont, comme ligne double, la ligne double de /.

7. Nous allons faire une remarque analogue concernant la ligne de contour apparent G de la surface relative au plan des xy.

Partons toujours de l'identité (3). Nous coupons la surface par le plany i=y, et nous envisageons un des points de rencontre M de ce plan avec la courbe G. Considérons alors ce point M sur la courbe

En intégrant les deux membres de (3) dans le plan de la variable

298 CHAIMTHE X.

complexe œ le long d'un clrcuiL qui entoure deux fols le point M, nous aurons zé/'O dans le premier membre; le premier terme du second membre donnera également zéro. Pour le second terme, la quantité, sous le signe -r— > donne au facteur 4'^^ pi'ès la valeur parfaitement déterminée en M

- (j ©iCi., , . .0,. /-

La dérivée par rapport à y de celte valeur devant être nulle, il en résulte qiie, le long de la courbe G, l'expression précédente a une valeur constante C.

Or, désignons par^, et 3, Vx et le z du point INI. Si l'on développe y"(^, j)', :?) suivant les puissances de ^ — x^ et ^ — ^i,on aura

et soit de même pour V(^, j', z) développé suivant les puissances de :r — x^ al z — z^

Gomme z — z^ est de l'ordre de y/.c — ^, , d'après l'équation fz=z o, il résulte de là que la valeur de l'expression (6^) au point M

est égale à

en entendant que, dans cette expression, jc et :; sont remplacées par x^ et :;,; cette valeur est précisément égale à G'. Écrivons alors l'identité (3) de la manière suivante :

J"z àx \ ^- J ày

Elle est de la forme

Q c)Ai , ()Bi f'.^ dx ~^ dy

en posant

avec

v. = v- ego. ,.....,/•:.

Il résulle de la valeur de C que, dans le dévcioppement de V, suivant les puissances de x — x^ et z — ^j, il n'y aura pas de

terme du premier degré qv\ z — ^,. Donc — a une valeur finie le long de la courbe G, et il en est de même de -^•

Par suite, eu rapprochant ce résultat de celui que nous avons obtenu au paragraphe précédent, nous [)ouvons dire, en revenant à l'identité (3) du n'' 5, qu'il est permis de supposer que, dans

cette identité,

s'annulent sur la couibe double, et que

ont des valeurs finies le long de la courbe de contour apparent. INous allons voir maintenant comment on peut réduire encore les éléments arbitraires dans l'identité (3).

II. — Réduction plus complète et introduction du nombre o. 8. Nous supposons toujours que l'on ait l'identité (3)

fz ~ ^^- "^ ^7 ' où

A = — vm 77 ' ^-> ^=^ — 7^ 7^ *

.^'"Gcp,0.. . .'^rjz ô' GcpiCp.,.. .^rjz

A et B peuvent être infinies le long des courbes se projetant sur le plan des xy suivant

3oO CHAPITRE X.

Nous allons faire disparaître ces lignes d'infini de A et B, et les remplacer par un nombre déterminé de lignes d'infini.

D'après le théorème fondamental du Chapitre IX (p. 241), on peut tracer sur la surface 0 — i courbes particulières

Cl, 0-2, ..., Gp i,

telles qu'il existe une intégrale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques une autre courbe arbitrairement choisie, et la totalité ou une partie des courbes C,, ..., C., et de la courbe à l'infini; de plus, d'après la démonstration même, cette intégrale n'aura aucune autre ligne d'infini en dehors de lignes du type y = const.

Soit A une courbe de la surface se projetant suivant

et le long de laquelle A et B deviennent infinies. On pourra former une intégrale de troisième espèce ayant pour courbe logarithmique A et la totalité ou une partie des courbes G précédentes et de la courbe à l'infini. Cetle intégrale sera de la forme r P dx -+- Q dy

en désignant par

les projections des 0 — i courbes C, et par P et Q des polynômes en ^ et ^ à coefficients rationnels en y. Les fonctions P et Q s'annuleront le long des courbes de la surface se projetant suivant

distinctes de A et des courbes C^, et sur la courbe double. On aura d'ailleurs la condition d'intégrabilité

et, de plus, le long de la courbe A, l'expression

dcp, .,

THÉORIE DES IM'ÉGRALES DOUBLES DE SEGOADE ESPÈCE. 3oi

se réduira à une constante dlfierente de zéro, puisqu'elle représente, au facteur irù près, une période logarithmique de l'intégrale.

Revenons à l'identité (3)

fi ^ ùx ôy'

et supposons que le point {x,y,z) reste dans le voisinage d'un point M d'ailleurs arbitraire de la courbe A. Le premier membre de l'identité précédente ne devenant pas infini dans ces conditions, on pourra écrire

dx ' dy ~ dx'

). étant une fonction holomorplie de^ et jr dans le voisinage de M.

Bdx — {J^ — l)dy

est une intégrale de différentielle totale a^ant autour du point M la courbe A comme courbe logarithmique, et l'on en déduit de suite que l'expression

se réduit à une constante sur la courbe A, car elle représente au facteur i>.rù j)rùs une période logarithmique de l'intégrale. Or le second membre de l'identité (3) peut s'écrire

ôx

C désignant une constante arbitraire. Or on peut choisir la constante C de manière que

s'annule sur A, d'après les deux remarques ci-dessus. Par suite, pour un tel choix de C, la fonction sous le signe y- dans l'expression (a) ne deviendra pas infinie le long de A, et alors il en sera nécessairement de même pour la fonction sous le signe — •

3o2 ClIAriTHl- X.

Nous avons ainsi fall disparaître la li-ne A comme ligne d'infini pour les fonctions figurant dans l'identité (3). En allant ainsi de proche en proche, nous arrivons à une identité

Q 0\ on où A et B ont la foi me

M et N étant des poljnomes en x et z à coefficients rationnels

en r.