AI N

- et —

deviennent infinies le long de la courbe C/, mais non suivant les autres courbes Ca- De plus, comme il arrivait au paragraphe précédent, ^^ ^

s'annulent sur la courbe double F, et

— et -

restent finies le long de la courbe de contour apparent C considérée plus haut.

9. Nous avons en somme remj)lacé toutes les lignes d'infini (jiii n'étakni pas connues a priori par des lignes déterminées

Cl, G,, ..., Gp- 1- ^f

Il reste encore à envisager, comme lignes d'infini de A et B, les lignes T et C suivant lesquelles les deux cvlindres

coupent la surface, en dehors respectivement de la courbe double F et de la courbe de contour apparent C. Les considérations précédentes sont applicables sans modifications; on peut se débarrasser de ces deux lignes par des soustractions de même nature, et il arrive alors que, dans les expressions (7) de A et B, les polynômes

THÉonii: des imégrales doubles de seconde espèce. 3o3

Met N, en gardant Jes propriétés indiquées, sont, de plus, tels qu'ils s'annulent le long des courbes Y' et C.

Il en résulte une propriété essentielle des quotients

CCS quotients se réduisent à des polynômes en x et z. En effet, soit le quotient

il s'annule en général (c'est-à-dire pour un point arbitraire) sur la courbe double F, et, de plus, il reste fini sur la courbe V . Ceci

suffit à établir, d'après des propositions classiques, que ' est im polynôme (en x et z). La façon dont M se comporte sur les courbes C et C montre de môme que ^-^ est un polynôme. Il résiiUe de là que V IdenlUé (3) du début peut s'écrii-e

fz ~ àx- "^ ây ' OÙ

OÙ M et \ sont des polynômes en ^ et :; (à coefficients rationnels Gïi y) s'annulant sur la courbe double. Les polynômes g\^ g.,^ .. , ^'p t correspondent aux projections sur le plan des xy de o — i courbes déterminées G, , Cj, . . . , Cp, et, pourj/ arbitraire, \ci quotients

INI i\

— et —

deviennent infinis seulement suivant la courbe C/.

Nous aidons ainsi éliminé toute courbe d^injini de A et 1> en dehors des courbes déterminées C,, C^, . . . , Cp., (e/i laissant de côté, bien entendu, les courbes y = const.).

3o4 CHAPITRE X.