Q JA , ()B
A et B ayant nécessairement les formes indiquées au paragraphe précédent.
Prenons d'abord le cas le plus simple, où pour la surface /,
on a
Alors A et B ont la forme
M et N étant des polynômes en j; et ::, à coefficients rationnels «n jk; d'ailleurs, M et N comme Q s'annulent le long de la courbe double.
11. Avant d'aller plus loin, indicpions une propriété des fonctions algébriques d'une variable. Soit
une courbe algébrique, et considérons l'intégrale
.., ax,
THÉORIE DES JMÉGRALliS DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3o5
OÙ Q est un polynôme en ^ et y s'annulant aux points doubles. L'intégrale deviendra, en général, infinie aux m points à l'infini, et aura en ces points des périodes logarithmiques. Appelons O,, O2, . . . , 0,n les m points à l'infini. On peut former une intégrale de troisième espèce
où qi est un polynôme, et ayant comme seuls points singuliers logarithmiques O, et O,-, avec périodes égales à -j- i et — i. Il est clair alors qu'en choisissant convenablement les constantes
l'intégrale ,
dx
n'aura plus de points singuliers logarithmiques à l'infini, et sera, par suite, une intégrale de seconde espèce. On aura donc, en désignant par
les coefficients de dx dans un système de ip intégrales distincte.' de seconde espèce
fy en posant
— — «lIl+...-f-a2/JL'/>+t'2J2 -f-. . .-\-C,ni,n -1- -r-y Jy dx
et R désignant une fonction rationnelle de x et y. 12. Appliquons ceci à la courbe entre x qX, z
renfermant le paramètre y. Toutes les opérations précédentes peuvent être appliquées à la fonction rationnelle de x et ::,
elles sont elles-mêmes rationnelles, les ni points à l'infini étant
3o3 CHAPITRE X.
tlisfincls au point de vue de la rationalité par rapport a y. Dans Ja réduction précédente, les I et J seront des fonctions rationnelles déterminées de .r, y et z, les a et les c seront des fonctions rationnelles dey^ et R sera une fonction rationnelle de .t, r et z. Soit donc, dans ces conditions,
-77 == «1 1 1 -T- . . . -T- Cl-2p t-2i>-r- C-yJ^-r-- • .-r- C,n J /« -i r— J
et écrivons l'identité sous la forme
fz '
On
voit
que
l'on
en posant
Bi
Les I et J sont détermines; il s'agit de voir si l'on peut satisfaire à l'identité (8) en prenant pour A, une fonction rationnelle de x^ y et Zy et pour les a et les c des fonctions rationnelles de^'. iNous avons maintenant à écrire que la différence
Q oB^
J'i ày
est la dérivée par rapport à a: d'une fonction rationnelle de x, y et z. Dans ce calcul, JK joue le rôle de paramètre, et nous avons à écrire qu'une fonction rationnelle de x et z relative à la courbe /'{.T^y, z) ^= o est une dérivée de fonction rationnelle. Les conditions exprimant ce fait sont bien connues; elles nous don-
j)ent ici
relations linéaires entre
et leurs dérivées premières. xVucune irrationalité par ra[)port à y ne s'introduit et ces relations contiennent rationnellement >'. Ces relations sont bien distinctes, et l'on pourra certainement
en tirer
cla, (1(1 1 da-ip d('i (lc„i
dy (ly ciy cly dy
en fonclion linéaire des a et des c, les coefficients étant rationnels en y. Les m — i relations concernant les points à l'infini contiendront seulement les dérivées des c, dont elles donneront les valeurs en fonction dej)^; les ip autres relations contiendront les a et les c ( ' ).
Soit (S) le système de relations que nous venons de former. Si Ton peut y satisfaire en prenant pour les a et les c des fonctions rationnelles de y^ on pourra mettre ^ sous la forme demandée.
C) Il n'est pas sans intérêt de remarquer que le pi-oblènie que nous venons de traiter généralise le problème fondamental relatif à l'existence des intégrales de différentielles totales de seconde espèce (transcendantes). Reportons-nous au Tome I (page 164 ). Il faut chercher si l'on peut déterminer les fonctions rationnelles «1, «2' •••5 <^2» tle jK, de manière que les périodes de l'intégrale
«iQjH-. . .4- «2,,Qj,,
dx
f'z ne dépendent pas de jk. Avec nos notations actuelles, on aura
D'autre part, soit
B, dx — A, dy
une intégrale de seconde espèce (transcendante). On peut supposer, comme il a été vu, que
B, = «il, -!-... + «,^J,,„ et nous avons l'égalité
ôx ôy
C'est l'égalité du texte, en supposant Q identiquement nul, ainsi que les c.
Profitons de l'occasion pour compléter l'analjse de la page iG5 du Tome I, relative à la formation des équations différentielles linéaires devant donner les a. On y parviendra de suite en remarquant que l'intégrale abélienne
"".-- ( a, I, -;-... + «.,„ I.,„ ).dx^
relative à la courbe entre ^ et -
doit se réduire à une fonction rationnelle. En appliquant les conditions classi(iues dans la théorie des fonctions abéliennes, pour qu'une intégrale abélienne soit algébrique (par exemple les conditions données par Weierstrass), on formera de la manière la plus simple le système des équations différentielles linéaires relatif aux rt.
3o8 CHAPITRE X.
Ceci résulte de ce que si une fonction rationnelle
de ^,y, 3 remplit les conditions pour qu'elle soit la dérivée d'une fonction rationnelle de .x et z^ ces lettres étant liées par la relation
elle pourra être regardée comme la dérivée par rapport à œ d'une fonction rationnelle de ^,. y et J3. Soient, en effet, pour x = Xi)^ les m racines ^i, ^2, . . ., -/« de l'équation
formons la somme
)dT,
la lettre y étant regardée comme un paramètre dans l'intégration. La fonction U est une fonction rationnelle de ^, y et z-, et l'on a
ox
On a donc simplement à rechercher si un système de
écjiiations différentielles linéaires à coefficients rationnels entre les a et les c peut être vérifié par des fonctions rationnelles. C'est là un problème classique. On est naturellement conduit à se demander si Ton pourrait trouver plusieurs systèmes de valeurs rationnelles des « et c satisfaisant aux relations (S); s'il existait deux tels systèmes de valeurs, leur différence conduirait à une expression B de la forme
B = a. Il +. . .-r- a2/, l-ip-r- Y2J2 + ' • • "^ '^mhiii
les a etv étant rationnels en y, à laquelle on pourrait associer une fonction rationnelle A de ^, y et ^, telle que
^)A on
Ox Oy •
THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DS SECONDE ESPÈCE. ScQ
L'intégrale
Bdx — Ady
serait une intégrale de différentielle totale, ne pouvant avoir à distance finie cjne des courbes logaritliniic[ues correspondant aux équations y = const. On peut faire disparaître ces dernières en retranchant de A la dérivée d'une expression convenable de la forme
ZGilog(jK — cii) (les G et les a étant des constantes).
Supposant l'intégrale ainsi préparée, celle-ci ne pourra avoir que la courbe à l'infini comme courbe logarithmique. Or^ une intégrale ne pouvant avoir une seule courbe logarithmique, elle sera nécessairement une intégrale de seconde espèce, et, par snite, on devra avoir nécessairement
Si la surface ne possède pas d'intégrale de seconde espèce (transcendante), il faudra enfin que les a soient nuls, et, par suite, il ne peut j avoir deux solutions différentes pour notre problème, II en serait autrement si la surface avait des intégrales de seconde espèce, mais on voit alors immédiatement quelles seraient les formes de B et A.
13. Dans le problème posé au n° 10, nous avons supposé p ==i . Dans le cas où p est quelconque, la solution va reposer sur une analyse analogue. Considérons la courbe G/ et formons, relativement à cette courbe, une intégrale comme celle de la page 182 (Ghap. IX, n^ 2)^ si H^ est le coefficient de da: dans celte intégrale, nous avons donc une intégrale abélienne
Hidx (H/ rationnelle en x,y,z),
relative à la courbe entre x et z
ayant pour points singuliers logarithmiques le point à l'infini 0<, et les points de la courbe G/ avant la valeur considérée du paramètre y.
3lO CHAPITRE X.
Ceci dil, revenons à Tidentilé
Q à\ ^ on
fi ~ d.c Oy '
OÙ A el B ont les valeurs considérées au n" 9. On pourra mellre B sous la forme
(9) B = aif,H-.. .-f-a2/J2/;+ Y2.Ï2^-..
-+- '(m J /« -r- '^( I II 1 -r- . . . -1- T, p i IIp-i
lu-
B étant rationnelle en x, y, z ; pour l'établir, il suffit de s'appuyer sur une extension immédiate du résultat énoncé au n" 11, en remarquant que, pour la fonction B regardée comme fonction rationnelle de X et ^, les résidus correspondant aux points M de la courbe C/ correspondant à une valeur arbitraire de y sont égaux entre eux et indé[)endants de j'. Ce dernier point se démontre en recourant à une considération dont nous avons déjà fait souvent usage sous des formes variées. En intégrant, pour une valeur fixe donnée à y^ dans le plan de la variable x autour d'un point M les deux membres de l'identité
fi '~ 'ôx "^ 'dy'
le premier membre donne zéro, ainsi que -— > et, par suite, la dérivée par rapport ix y du résidu de B relatif au point M est nulle, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas dey.
De là résulte que dans l'identité (9) les r^ sont des consLantes^ les a et les y des i'onctions rationnelles dey.
En écrivant comme plus haut
y: dx\ ' dy ) ' Oy\ ôx I nous avons une identité de la même forme
Oo)
Q ()A, ^ dB, /- ~ Ox ' ùy
avec
Bi = :rili + .
. .^- '3.-ip\.ip-\-
CiHi -I-.. . 4-Cp iIIp
THÉOHIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3ll
les c élant des constantes, les a et les v des fonctions rationnelles
de y.
14. La question est donc de savoir si l'on pent satisfaire à l'identité (lo), avec une valeur de B, de la forme indiquée. Nous n'avons qu'à j)rocéder, comme au n" 10, en écrivant que la différence
fz ^y
est la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x,y
et z. Ceci nous donnera
ip -T- m — i
relations linéaires entre lésa, les y, leurs dérivées premières et les constantes c,, c.>^ . . ., Cp i ; les coefficients de ces relations sont rationnels en y.
Le problème est donc ramené à reconnaître si l'on peut déterminer les constantes c, de manière que les équations linéaires précédentes puissent être vérifiées par des fonctions rationnelles a et V de y; cette question ne présente aucune difficulté théorique.
On reconnaîtra, de plus, par un raisonnement analogue à celui du n"" 12, que, s'il est possible de satisfaire à l'identité (lo), ceci ne peut en général se faire que d'une seule manière.
En résumé, si l'on connatl un système de courbes C, il est possible de reconnaître si une expression
() peut se mettre sous la jorme
et l'on peut, par suite, dénombrer les intégrales distinctes de seconde espèce.
lo. Ajoutons quelques remarques importantes. A chaque urbe G/ correspond une expression —j où C en x^ y et ^, susceptible de la forme indiquée.
courbe G/ correspond une expression —j où Q est un polynôme
3r2 CHAPITRE X.
Considérons en efTet les courbes
Cl. Co, • • • • Cp— 1,
cl adjoignons à ces courbes une courbe déterminée, d'ailleurs arbitraire, ". On peut former une intégrale de troisième espèce ayant pour courbes logarithmiques les lignes C/, la courbe y et la courbe à l'infini. Si la courbe v est prise arbitrairement, chacune des courbes C/ sera eiïéctivement une courbe logarithmique, c'està-dire que la période logarithmique correspondante ne sera pas nulle. Dé?ignons cette intégrale par
r étant un polynôme en x et y qui, égalé à zéro, donne la projection de y dans le plan des xy. P et Q sont des polynômes en x et z à coefficienls ralionnels en j>^, s'annulant sur la courbe double et sur les liirnes d'intersection avec les surfaces des cylindres
on dehors de C,, Co, . . . , Cp i et y. La condition d'intésfrabilité nous donnt
ôx \ A'-, fTi . . . ,^p-i Tfz / <->r \ .^1 ^ 2 . • • A'-p-i lYz Décomposons la fraction rationnelle de x et y
.^Vii^
en éléments simples, en la regardant comme nne fonction rationnelle de X. On aura
I Al Ao , , ^p-i ^ B
^"iff-î- • ',^p~l 1' A'I .^'':
n et les A étant des polynômes en x à coefficients rationnels en j)'. Nous avons alors
