LA GÉOMÉTRIE SUR INE COURBE ALGÉBRIQUE

Or, par un groupe G de g''^^ et par /■' points arl)itraires de f (mais non par /■'-}- i), on peut faire passer une 'fw:i. Appliquons successivement le théorème du n° 13. Soient P,, Po, ..., IV, les points arbitrairement choisis; la série

r^-;;^ Pi) = *-,';+,

est complète, d'ordre « -r- i , de dimension r, et de plus elle est spéciale.

11 en est de même de la série

Finalement, on arrivera ainsi à une série g'„^,..^i qui sera encore complète, mais ne sera plus spéciale, d'où l'on conclut l'égalité

et, en tenant compte de l'égalité précédente /'= u — i ,

n — r =p^ IX,

ce qu'il fallait démontrer.

On donne souvent au nombre p. le nom (Vindice de spécialité de la série ^''^.

18. La loi de réciprocité de Brill et Nœlher se conclut immédiatement de ce qui précède. On considère deux séries

gn, g'n' {n-^ Il =ip-'l),

résiduelles l'une de l'autre par rapport à la série canonique; des

égalités

on déduit

n -\- ?•' — r = p — i, d'où

2(r' — r) =^ II' — n.

19. Il ne sera pas inutile de montrer comment on peut, de la forme géométrique que nous venons de donner au théorème de Riemann-Roch, passer à la forme analytique rappelée au début.

Soit donc R(\r,jK) la fonclion rationnelle la plus générale ayant n infinis simples en des points A( , A.>, .. ., A,^ de la courbe f. Nous remarquerons d'abord que celte fonclion dépend linéairement ^ç. constantes arbitraires, car, en désignant par «,, ao? ••■•,CLn les abscisses des A, le produit

{x — ax) ... ix ~ a,i) R(37, y),

qui doit rester fini à distance finie, sera de la forme

b,, bof ■ ■ -, b(i étant les abscisses des points doubles, le polynôme P(^,y) s'annulant aux points de rencontre des droites o" = b avec la courbe /", et son degré étant déterminé par la condition que R reste aussi finie à l'infini : toutes ces conditions s'expriment par des relations linéaires et homogènes.

Cela posé, envisageons l'équatiou R(x,j)— -a, où a est un paramètre variable, et où R est maintenant une fonction rationnelle déterminée devenant infinie en A,, Ao, . . ., A„. Cette équation définit une série linéaire <^l, dont un groupe particulier esl le groupe A), Ao, . . ., A« cjui correspond à la valeur y.= x. Si cette série n'est pas complète, elle sera contenue dans une série o"^, complète qui sera définie par un système linéaire d'adjointes

hoOo-T-. . .— hrOr= O,

en désignant par Oo une adjointe s'annulant en A,, Ao. . . ., A„. Par suite, la fonction rationnelle

est l'expression générale des fonctions ayant les infinis simples A) , Ao, . ; .. A,;. Et c'est la fonction la plus générale jouissant de cette propriété, car, autrement, celte fonction plus générale définirait un groupe d'ordre n, contenant A|, Ao, ..., A„ et de dimension supérieure à /■. Ce nombre r est donné par la relation

n — r = p ^ IX,

et, par suite, le nombre des constantes figurant dans l'expression

LA geometrip: sur vm: courbk algebriqui;. 35

cherchée est

C'est V expression analytique du théorème de Ricmann-Roch.