IV. — Des courbes normales

20. La théorie des séries linéaires de groupes de points sur une courbe plane trouve son application dans l'étude des courbes algébriques dans un espace à un nombre quelconque de dimensions. Après avoir défini ce qu'on entend par courbe normale, nous allons montrer, en effet, que cette notion n'est autre que celle d'une série linéaire normale ou complète.

21. Commençons p^r rappeler (juelques généralités sur les espaces à n dimensions, qui se trouvent déjà développées au Chapitre IV du premier Volume de cet Ouvrage.

jNous avons vu que dans un espace à n dimensions (Xi j.r^, ..., j;„),

un espace à /■ dimensions était défini par n — ;■ relations linéaires

distinctes

Ui=o. ..., U„,.= o;

puis généralisant la notion de perspective dun point, nous avons montre comment, en prenant comme point de vue un espace S^-, ou pouvait projeter un point A sur un espace S/^r i, en prenant l'intersection de ce dernier avec un espace S^-^i passant par A et S^.

22. Rappelons encore C[ue dans l'espace à n dimensions, une courbe est une multiplicité à une dimension, qu'on peut définir en

disant que ^"i, x^ Xn sont des fonctions algébriques d'un

paramètre. Or, d'après un théorème élémentaire d'algèbre, un nombre quelconque d'irrationnelles algébriques s'exprime rationnellement à l'aide d'une seule. On en déduit que, pour une courbe, .r,, .To, .... x,i peuvent être regardées comme des fonctions rationnelles de deux variables x ei y liées entre elles par la relation algébrique f{x, y) = o, et cela de telle manière qu'à un point arbitraire Xt, x^, . . . , Xn de la courbe ne corresponde qu'un point (x, y).

Dans cette théorie, quand ou parle d'une courbe dans un espace d'ordre n, il est entendu que celte courbe n'est pas contenue

dans un espace linéaire d'ordre moindre, c'est-à-dire qu'il n'j a pas entre les x de relation identique de la forme

Ao— Aiari-t-. . . — A„a?„= o,

les A étant des constantes, et en vertu de la relation y (.r, jk) = o.

Enfin, le degré d'une courbe est le nombre des points de rencontre de cette courbe avec un hyperplan arbitraire.

Ces notions préliminaires conduisent de suite à quelques remarques intéressantes ( ' ).

On voit d'abord q^ une courbe d^ordre n est toujours contenue dans un espace ci n dimensions ou dans un espace moindre, car si elle est dans un espace de dimension supérieure, par n -T- 1 points de la courbe, on poui'ra mener un bvperplan qui devra la contenir. On peut donc abaisser le nombre des dimensions jusqu'à n.

Une courbe cV ordre ndans un espace à k dimensions {et non moins) correspond point par point à une courbe d'ordre n — k ~ 1 située dans un plan. On le voit immédiatement pour /: = 3 en faisant une perspective avec le point de vue sur la courbe. Le procédé est général : dans l'espace à k dimensions, en projetant la courbe sur un espace d'ordre k — i, on obtient une courbe d'ordre n — i, et en continuant ainsi de proche en proche, on arrive finalement à une courbe d'ordre n — A" H- 2 sur un plan.

Une courbe d'ordre n dans un espace d'ordre n [et non d'ordre moindre) est unicursale, puisqu'un hjperplan passant par n — i de ses points n'a avec elle qu'un point de rencontre.

23. Définissons maintenant ce qu'on entend par courbe normale. Une courbe algébrique dans un espace (a^i , Xo, ..., Xr) d'ordre r est normale, si elle n'est pas la perspective sur cet espace d'une courbe du même degré, contenue dans un espace d'ordre supérieur (5:, , Xo, . . . ^ Xr)i (r''^ r).

Soient

(G) /(.,y) = o, .,^^^^- ..., ^,.= tT^

(') Les questions qui nous occupent ici trouvent leur origine dans un petit Mémoire de Clifford [On the classification of loci (Philosophical Trans., 1878)].