III. — Théorème de Riemann-Roch

17. On connaît le théorème de Riemann-Roch relatif au nombre des constantes arbitraires dont dépendent les (onctions rationnelles qui ont comme pôles simples n points donnés sur une courbe algébrique.

Considéré au point de vue de l'étude des séries linéaires de groupes de points, ce théorème s'énonce de la manière suivante :

Si g'n est une série complète, la différence ^ z:zz p -^ r — n, cil p désigne le genre de la courbe f^ est égale au nombre des adjointes d^ ordre m — 3 linéairement indépendantes passant par un groupe de la série.

Le théorème est évident dans le cas des séries complètes non spéciales.

Envisageons donc le cas àhine série spéciale. Cette série g^|^ est alors comprise partiellement dans la série canonique g^ZL^. H existe par suite une série résiduelle ^"'i „.,„ de g'^^ par rapport à ô"jp->5 6t le nombre /■' est égal, d'après ce que nous avons vu, au nombre [x des adjointes cp,„3 linéairement indépendantes passant par un groupe de g^^, diminué d'une unité. Soit

( ' ) Nous étudions ici le Uiéorème de Riemann-Roch sous sa foi-me géométrique, dans l'ordre d'idées de Brill et Nœther.