I 3C'— 3G1 = I3L'— 3LI

ils jouissent tous également de la propriété d'invariance vis-à-vis des transformations birationnelles de la surface, pourvu qu'on en retranche (comme on le fait d'ordinaire) les courbes exceptionnelles qui en font partie. On leur donne les noms de svstème bicanonique. svstème trois fois canonique, etc. Le nombre des courbes bicanoniques indépendantes s'appelle higenre : pareillement on peut envisager le trigenre, ....

Si Ton veut obtenir, par exemple, les courbes bicanoniques sur une surface F„ (d'ordre /i), dans le cas le plus simple où elle est douée dune courbe double et de points triples (-). il suffit de retrancher deux sections planes, du système qui est découpé sur F„ par les surfaces biadjointes *2«-6 d'ordre in — 6. passant doublement par la courbe double (puisque ce système est justement le double de celui qui est découpé par les surfaces adjointes 'J^-s); on obtient ainsi des surfaces ^1,,-% biadjointes à F„, qui découpent sur F„ les courbes bicanoniques.

Les sections des surfaces biadjointes d'ordre in — 8 (en dehors de leurs parties exceptionnelles) jouissent donc de la propriété d'invariance vis-à-vis des transformations birationnelles de F„.

On trouve l'exposition de ces résultats à la page 1/46 et suivantes du texte (t. II), et l'on peut voir à la page i49 les premiers exemples qu'on a donnés de surfaces de genre /»g. = o, et de bigenre H2> o.

D'autres exemples nombreux se présentent en étudiant certaines classes de surfaces z^ :=^f{x, y) (^).

(') C'est ainsi, par exemple, qu'on a pu donner une classification complète des surfaces de genre />„ > o, et de genre linéaii-e /?(') = 2,3. — {Cf. Exriques, Bendiconti delta B. Ace. d. Lincei, 1897).

(-) Tome I, pages 71 et suiv.

(^) Enriques, Sut piani doppi di génère lineare p^^'i = i {Bendic. delta B . Accad. d. Lincei. 1898).