RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA TIIÉOUIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES

l^'importaiice des plurigeiues ressortira de la seconde partie de cette Note, lorsqu'il s'agira d'établir si une surface donnée est rationnelle, on si elle peut être transformée en un cylindre, etc. {voir

Il résultera en particulier que, pour les surfaces qui ne se ramènent pas à la famille des cylindres, il y a toujours des plurigenres P, qui ne s'annulent pas pour des valeurs assez grandes de i {i = 4 ou t = 6).

3. De la propriété fondamentale du système adjoint découlent encore les résultats concernant le ^enre numériqne p^ ou p^^ d'une surface, qui se trouvent largement développés dans le texte (t. Il, p. 82-92, 125-129). I' nous suffira de rappeler que, lorsque y',^ ■</>"•, la série (canonique) découpée sur la courbe générale d'un système irréductible I G I de F par le système adjoint, n'est pas complète; cette série g';"^'^'^ a donc un défaut 0; mais ce défaut, pour les différents systèmes de courbes tracés sur la surface, a un ma.citnuiu (]ui est précisément pg — p^ (' ).

11 y a une autre manière, en quelque sorte analogue, de détmir le caractère invariant/»^, — p^^.

Considérons, à cet elTet, la série linéaire {caractéristique) qui est découpée sur la courbe générale de | C | par les autres courbes du même système; c'est une série g',^^ ^ si l'on désigne par n, r, respectivement, le degré et la ilimension de | G |. Eh bien! la série caractéristique d'un système complet tracé sur une surface nest pas complète {en général, au moins), lorsque Pa<^Pér'i niais, pour les différents systèmes cjcistant sur F, le défaut de la série atteint un maximum qui est précisément p^ — /*„ (-).

De ce théorème découle une relation importante entre les caractères d'un système linéaire ] G | donné sur une surface, dont les deux genres {géométrique et numéri(jue) sont représentés par p^^ Pa- En désignant par II.-, r respectivement le degré, le genre et la dimension du système, et en supposant que celui-ci ne soit pas renfermé dans le système canonique, on a toujours

- — I — n-f- r^pa-

(') Page 12S. D'après un théorème démontré tout dernièrement par .M. Picard <t. II, p. 438), OQ a l'égalité 0 = p^ — Pa po»"' tout système | C | existant sur la surface. On n'est pas encore parvenu à retrouver ce théorème par les méthodes géométriques.

(-) Castelnuovo, Atcune proprietà fondamentali. . . {Aniiali di Matemalica, 2' série, t. XXV, 1S97). Une démonstration très simple a été donnée par M. Seveui (liendicoiiti delta li. Ace. d. Lincei, octobre igoj).

Lorsque le système | G | est renfermé clans le système canonique, en désignant par i le nombre des surfaces adjointes «9,1-4 indépendantes qui passent par une courbe G, on a, au lieu de la relation qui précède, la suivante

- — I — /i -H /• ^^pa — i-

La relation, que nous venons d'écrire, constitue Vextension aux surfaces de la propriété relative aux courbes qu'on appelle le théorème de Riemann-Roch.

G'est j\L Notlier qui a énoncé cette extension dans une Note publiée en 1886 (^). Mais, dans le court essai de démonstration qu'il en a donné, il suppose que la série caractéristique d'un svstème complet soit toujours complète, ce qui est vrai seulement lorsque p^^pg.. M. Enriques s'est occupé dabord de justifier la formule en question dans le cas /^fj =ry7g.; ensuite M. Gastelnuovo est parvenu au résultat général pour tous les svstèmes linéaires irréductibles de dimension 1 2, tracés sur une surface quelconque.

On a cherché ensuite à étendre ce théorème aux systèmes de courbes réductibles (-), et Ton est parvenu au résultat suivant, qui a été démontré d'une façon précise par AL Severi (^) : si les caractères tt, n, i d'une courbe, irréductible ou réductible , tracée sur une surface de genres p„, p^j satisfont à l'inégalité

Pa^ n T -i- I — i^ o,

la courbe appartient à un système linéaire de dimension

rûpa-^'i — - -^ I — i.

k. Nous avons eu l'occasion de parler des surfaces {irrégulières), c'est-à-dire des surfaces pour lesquelles Pa<iPg-

Le premier exemple de telles surfaces est fourni par les surfaces réglées dont les sections planes ont le genre - >- o ; en ce cas on a

Pg = ^, Pa= — - {'*)■

La classe des surfaces réglées (7:>o) est renfermée dans la classe plus générale des surfaces possédant un faisceau irrationnel de

(') Comptes rendus de l'Acad. des Se., l. CllI.

(-) Gastelnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni fondamentali. . ., n° 4 {Annali di Alatematica, 3° série, t. VI, 1901).

(') Sut teorenia di Riemann-Roch {Alli deW Accad. dette Scienze di Torino, mai 1905 ).

(*) Tome I, p. 241 ; tome II, page i55.

UÉSLLTATS .NOl VEAI X DANS L\ TIlfiORir: DKS SI UFACRS AI.(;ÉBRIQLES. ^9 r

courbes de genre quelconque : toutes ces surfaces sont irrégulières, parce que les séries caractéristiques des systèmes linéaires tracés sur elles ne sont pas connplètes (').

On a généralisé cet exemple, en démontrant que : toute surface possédant un système de courbes cjui n'est pas contenu (totalement) dans un système linéaire est une surface irrégulière (-).

A celte famille de surfaces appartiennent tous les exemples de surfaces irrégulières aux(|uels on est parvenu par des procédés difiérents. Citons, par exemple, les surfaces qui représentent (point par couple) le système des couples de points appartenant à deux courbes algébriques distinctes ou à une même courbe, surfaces dont les caractères invariants ont été déterminés d'une façon complète (").

Cette remarque a conduit à penser ([ue toute surface irrégulière rentrerait dans la famille citée. C'est ce qu'on a démontré dernièrement (*). Ainsi donc, sur toute surface irrégulière, on trouve des systèmes algébriques de courbes qui ne sont pas contenus dans des systèmes linéaires.

Ce théorème peut être précisé davantage. Rappelons à cet elTet que la notion de la série caractéristique d'un système linéaire de courbes sur une surface peut être étendue à un système continu non linéaire, de la façon suivante (^) : les courbes infiniment \oisines d'uue courbe générale du système découpent sur celle-ci une série, qu'on appellera série caractéristique du système donné. On a maintenant le théorème C') : tout système continu de courbes algébriques existant sur une surface est renfermé en un système {linéaire ou non linéaire) dont la série caractéristique est complète.

Le dernier système sera linéaire, d'après un théorème de M. Castelnuovo (n° 3), si la surface est régulière {p^^^^pa)- Au contraire, ?,{ Pfr^ pa, il existe sur la surface des systèmes linéaires complets, de

(') CASTELNrovo, Alcuiù risultati.... n'' 10 {Mein. délia Società italiana délie Scienze. 1896).

('-) Enriques, Una proprietà.. . (Rendic. del Circolo Malemalico di Palermo, t. XIII, 1S99).

(^) MAR0M,.4fif dell' Accad. d. Scienze di Torino, 190.3. — Severi, /ôzV/e/». et Memorie delC Accad. d. Scienze di Torino, 1903. — De Franchis, Rendic. del Circolo Mateni. di Palernio, 1903.

(^) Enriques, Sullà proprietà caratteristica délie superficie algebriche irregolari {Rendic. délia /?. Accad. d. Scienze di Rologna, 1904); Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 16 janvier 1900.

(•'•) Severi, Osservazioni sui sislemi continui ... {Atli délia R. Ace. d. Scienze di Torino. 1904).

C) Enriuues, loc. cil.

genre tt, degré n et dimension r^p^-\- n — - + i, dont la série caractéristique a le défaut maximum p^ — />,,; ces systèmes sont donc renfermés en des systèmes continus de dimension

composés par cc^g-Pa systèmes linéaires complets de dimension

Si Pon assujettit les courbes d'un tel système continu à satisfaire à r conditions linéaires, on obtient U7ie se rie yJ' ?-!'«■ de courbes no Ji équivalentes, série dont la courbe générale n'appartient à aucun svstème linéaiie contenu dans la série. Mais on ne saurait pas construire sur la surface une série de dimension /?„ — pa-^ i douée de la même propriété.

Comment pourra-t-on reconnaître si une courbe ayant des caractères assignés, sur une surface de genres/)^,, /?„, appartient à une desdiles séries ccPg-Pa'î Voici la réponse : il sufjit que les caractères -, n, i de la courbe (nommés au n° 3) satisfassent à r inégalité

Pa-^ n — - -I- I — J ^ G.

Ce résultat, auquel M. Enriques est arrivé en s'appuyant sur l'extension du théorème de Riemann-Roch, a reçu une démonstration directe assez simple de M. Severi (').

o. Considérons sur une surface irrégulière un système continu S de courbes, composé par ccPs^i'a systèmes linéaires complets | C |, ]Gil, I Coj, .... Si l'on construit le système linéaire

|G'| = |G-G,-Co|,

on reconnaît de suite que |C | appartient aussi au système S, et possède les mêmes caractères que | C [, ....

On voit donc que Vopération | C, — C^j transforme tout système linéaire complet | C | de S en un autre système linéaire complet j G'|, qui est aussi renfermé dans S. Or. on peut former ac/^j~/'« opérations analogues, et l'on reconnaît aisément qu'elles forment un groupe continu de transformations deux à deux permutables. Il convient d'énon-

(') Sut leoreina di Riemann-Tioch {loc. cit.).

RÉSULTATS NOl VKAU.V DA.NS LA THÉORIE DES SI RFACES AL<;ÉIiRIQlKS. .\C)i

cer ce résultai de la manière suivante (') : /es oc/'i-~/'« systèmes linéaires complets renfermés dans i/n système continu peuvent être représentés par les points d'une variété algébrique à /?., — />„ dimensions, qui admet un groupe permutable oc'\-^''<i de transformations birationnelles en elle-même.

C'est la variété de Picard attachée à la surface. Daprés un théorème établi par ce savant (^), les coordonnées d'un point général de la variété peuvent être exprimées à l'aide de fonctions ahéliennes \'3.{P(r — pa) fois périodiques] de /?„ — />„ variables. En transportant celte propriété aux systèmes de courbes sur la surface considérée, on arrive à la conclusion (^) que les pg — pa paramètres non linéaires, dont dépend une courbe d' une série complète donnée sur la surface, peinent être introduits de telle façon que les coefficients des équations de la courbe soient des fonctions abéliennes de ces paramètres.

On a ainsi une extension aux surfaces de la propriété des groupes de points d'une courbe, qui est exprimée par le théorème d'inversion de Jacobi. On pourrait rechercher une autre extension de cette même propriété dans un sens plus direct; c'est ce qu'a fait M. Picard en parvenant à une réponse négative {voir la .Note II de ce Traité).

G. i']n résumant les résultats rappelés dans les n"* 3, \. 5, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si l'on envisage sur la surface une courbe, dont les caractères t., n, i satisfont à r inégalité

Pa — n — T. -^ i — i ^o\

cette courbe sera renfermée dans une série complète dépendant de

r ^Pg -h n — t: -+- I — i

paramètres : et ces paramètres seront de deux sortes : les uns, au nombre de r — (/?„ — pa), entrent linéairement, de sorte que la courbe est un système linéaire par rapport à ces paramètres: les autres paramètres, au nombre de Pg— Pa-, entrent d'une façon irrationnelle, et précisément les coefficients des équations de la courbe sont des fonctions 2{pa — /v) /^'^■'^ périodiques de ces derniers paramètres.

(■) Castelxuovo, Sugli inlegrali seinplici ... {Bendiconti delta li. Ace. d. Lincei, mai-juio igoS, ou bien Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 23 janvier i9o5).

(^) Picard, Rendiconti del Circolo matem. di Palermo. l. IX.

(') Castelnuovo, loc. cit.

7. Il convient maintenant de rapprocher ces résultats, relatifs aux surfaces irrégulières, à d'autres résultats qui se rapportent au\ surfaces douées d'intégrales de dilTérenlielles totales de première espèce.

M. Humbert, en appelant le premier l'attention des géomètres sur les systèmes non linéaires de courbes, a remarqué (^) que toute surface, sur laquelle existe un système de courbes qui nest pas contenu dans un système linéaire, possède quelques intégrales de différentielles totales de première espèce.

On a cherché à invertir ce résultat. M. Enriques y est parvenu d'abord (-) en ajoutant l'hypothèse que les ^ j> o intégrales appartenant à la surface aient iq périodes, hypothèse qui, à cette époque, devait être regardée comme restrictive. Ensuite M. Enriques, en s'appuyant sur un théorème important de M. Severi, que nous allons citer tout à l'heure (n° 8), et profitant du résultat qu'il a établi dernièrement sur les surfaces irrégulières (n° i), a pu démontrer, sans introduire aucune restriction (^), que toute surface possédant ^>o intégrales de différentielles totales de première espèce possède des systèmes algébriques de courbes, qui ne sont pas contenus dans des System es linéaires.

8. On n'a maintenant qu'à comparer les résultats des n°^ i et 7 pour faire ressortir la vérité de la proposition suivante :

Les surfaces ir régulières et les surfaces douées d'intégrales simples de première espèce forment une seule famille.

Ce théorème renferme deux, propositions réciproques dues respectivement à MM. Severi et Enriques. En vue de l'importance du résultat, il est bon peut-être de rappelei- ici l'ordre dans lequel ces propositions ont été découvertes, et les étapes successives qui ont amené au résultat quantitatif, qui a permis de compléter le théorème énoncé.

En septembre 1904 M. Severi, en s'appuyant sur les résultats généraux, de M. Picard, a examiné la courbe polaire d'une intégrale simple de seconde espèce (transcendante), et a remarqué que la série caractéristique, découpée sur cette courbe par les courbes qui appartiennent au même sy^tème linéaire, n'est pas complète; il en déduit que {*)

(') Journal de Mathématiques, 4° série, l. X, iSgS, p. 190.

(-) Aimâtes de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1' série, t. III.

(^) Enriques, Rendic. delta R. Accad. di Bologna, décembre 1904.

(') Rendiconti delta R. Accad. d. Lincei, septembre 1904; Mathem. Anna-