RÉSULTATS XOCVEALV DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES

toute surface douée d'intégrales simples de seconde {ou de première) espèce est irrégnlière.

En décembre 1904 M. Enriqiies, en s'appuyanl sur la construction de systèmes non linéaires sur une surface irrégulière (n°i). parvenait à la conclusion réciproque que (') les surfaces irrégulières possèdent des intégrales simples de première espèce.

Ensuite M. Severi (-), en profitant du théorème de M. Enri([ues sur les systèmes non linéaires (n° i), a pu démontrer Tégalité

1— cj =p^,— p^,

où /• et q sont les nombres des intégrales simples de seconde et première espèce de la surface.

Enfin, une étude plus approfondie des systèmes non linéaires nommés, étude où le rôle essentiel est joué soit par la considération de la variété de Picard {^) { n° 5), soit par Fevlension du théorème tl'Abel (*) (dont nous allons parler au n° 10), a permis à MM. Casteliiuovo et Severi de préciser de la manière suivante le lien qui existe entre l'irrégularité d'une surface et le nombre des intégrales simples qui lui appartiennent :

Une surface ayant les genres ^^,, p^^ possède exactement p^. — p^ intégrales simples distinctes de première espèce et ^{p^ — p^) intégrales simples distinctes de seconde espèce; le nombre des périodes des unes et des autres intégrales, et le nombre des cycles linéaires distincts de la variété de Riemann à quatre dimensions attachée ci la surface est 1 {p^- — pa)-

Ce résultat est donc le fruit d'une longue série de recherches, auxquelles ont également contribué les méthodes transcendantes de M. Picard et les méthodes géométriques employées en Italie.

!). Le théorème d'après lequel une surface irréguiière possède des systèmes non linéaires de courbes ( n° k) peut être précisé davantage dans quelques cas particuliers remarquables.

ten. t. LXI. Une autre démonstralion a élc donnée par M. Pic.vrîD (Comptes rendus, 16 janvier igoS; voir aussi ce Traité, t. II, p. 4^9 )•

(') Rendiconti delta Accad. d. Scienze di Bologna, toc. cil.

{-) Atti detla B. Accad. d. Scienze di Torino, janvier ir,o5: votr aussi Picard, toc. cit.

(3) Castelnuovo, Comptes rendus, 28 janvier 190.5; Bendic. delta B. Accad. dei Lincei, mai-juin 190a.

(/) Severi, Comptes rendus. 3 avril 190.5; Annali di Malcmatica, 3' série, t. XII.

En 1900, M. Castelniiovo communiquait à M. Enriques (•) une construction d'après laquelle, étant donné sur une surface de genre /?^.=:o un système de courbes non équivalentes, on est amené à un faisceau irrationnel. Eu 190^ (au moyen du résultat du n° i) M. Enriques en a déduit (-) que :

Toute surface de genres

Pg = G, pa < O

renferme un faisceau irrationnel de courbes.

Ce résultat jieut être généralisé, en remarquint que le point essentiel de la construction précédente, c'est le fait que les intégrales simples de la surface sont fondions l'une de l'autre.

Or on reconnaît, en général (■'), que, si. parmi les intégrales simples attachées à une surface, il y en a plusieurs qui sont fonctions de l'une d'entre elles, alors la surface renferme un faisceau irrationnel de courbes. Il s'ensuit que toute surface ayant Pg^'2.{pa-\- 2) possède un faisceau irrationnel de courbes {'*). Cetle propriété apj^artient donc à toute surface dont le genre aritliinéli([ue Pa<C — I (^); (on verra ensuite que les courbes du faisceau siii- une telle surface sont rationnelles).

Le même ordre de considérations a permis à M. de Franchis d'établir un théorème remarquable (") :

Si la surface ^'=-f {^', y) possède q intégrales simples distinctes de première espèce, la courbe plane f(a;, y) =z o est formée par iq -\- "2, ou 2(7 + 1 courbes appartenant à un même faisceau ; toute courbe du faisceau est la projection de deux courbes de la suif ace qui varient en un faisceau hyperelliptique de genre q.

Le théorème réciproque subsiste aussi.

10. La démonstration très simple, par laquelle M. Severi a établi le théorème du n° 8, s'appuie sur une proposition qui doit être regardée

(') Annales de Toulouse, 2° série, t. III.

(-) Eendic. Accademia dl Bologna, loc. cit.

(••) De Franchis, Bendic. delta R. Accad. dei Lincei, juin 1904; Bendic. del Circolo matent, di Palermo, t. XX, igoS, p. 49-

(*) Castelmiovo, Bendic. del Circolo maleni. di Palermo, t. XX, p. 55.

(*) De Franchis, Bendic. del Circolo matem. di Palermo; loc. cit.

(^) De Franchis, Bendic. delta B. Accad. dei Lincei, loc. cit.; voir aussi luic extension de ce liiéorèmc dans les Bendic. del Circolo matem. di Palermo, t. XX, p. 33 1 .

HÉSLLTATS NOIVEAIX DANS LA TIIÉOUIE DES SURFACES AUiÉBRiyiES. ^97

comme Texlension aux séries de courbes tracées sur une suiface ilu lliéorème d'Abel relatif aux séries de groupes de points d'une courbe. Il s'agit de décider, en recourant aux intégrales simples de première espèce de la surface, si une série continue de courbes tracées sur elle est contenue dans un système linéaire. Ou peut énoncer la condition cherchée de difiérentes façons, mais on doit toujours envisager la somme des valeurs que chaque intégrale ac(|uiert aux points d'un certain groupe variable, iioinons-nous à rappeler la première forme sous laquelle -M. Severi énonce son théorème (') :

Pour qu' une série algébrique de courbes sur une surface apj}arlienne à un système linéaire, il est nécessaire et suffisant que la somme des valeurs que chaque intégrale simple de première espèce prend aux points d'intersection de deux courbes de la série, garde une valeur constante lorsque les deu.r courbes varient dans la série.

Une autre extension du théorème d'Abel a été donnée aussi par M. Severi dans le Mémoire cité. La voici. Supposons que deux surfaces F, F' soient liées par une correspondance algébrique (i. n)\ on aura alors sur F' une involution d'ordre «, formée par zc- groupes de n points correspondant aux points de F. Eh bien, la condition pour que l'imolution sur F' {c'est-à-dire la surface F) soit régulière, est que la somme des valeurs de chaque intégrale simple de première espèce de F' aux points d'un même groupe reste constante quand ce groupe varie.

11. Aux systèmes algébriques de courbes tracées sur une surface s'étendent immédiatement les notions de système complet, d'addition et de soustraction de systèmes, que nous avons exposées lorsqu il s'agissait de systèmes linéaires. Si l'on désigne par (C), (Ci), ... des systèmes algébriques complets, on pourra donc attribuer une signification précise à une relation telle que celle-ci :

( , I A( C ) = A, ( G,) — /*,( Go ) + . . • - Zip* Cp ).

où les h, /<,, h. hr, sont des nombres entiers, dont le premier et

quelqu'un des autres sont certainement positifs; on suppose naturellement que les soustractions relatives aux coefficients négatifs sont possibles. Si la relation (i) a lieu, on dira que les systèmes (G), (Cl). ..., (Co) sont algébriquement dépendants. Or M. Severi est

C) Comptes rendus. 3 avril iqo5, Annali di Matemalica. ?>' sC-v.. t. XII. <)n Unuv.na an résultat plus expressif dans une Noie de M. Skveui parue tuul dernièrement dans les Rendic. del Circolo matem. di Palermo, t. XXI, 1906.

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parvenu à démontrer un théorème extrêmement remarquable, qui se rapporte aux. notions rappelées tout à l'heure (') :

Sur une surface algébrique on peut toujours fixer un nombre fini p de systèmes algébriques complets (Gj), algébriquement indépendants, tels que tout autre système algébrique (G), tracé sur la surface, dépende algébriquement des systèmes nommés.

Tous les systèmes (G) existant sur la surface sont donc fournis par la relation (i), en attribuant aux coefficients h des valeurs entières. On dit que les systèmes ((3,), .... (Gp) forment une base de la totalité des systèmes tracés sur la surface. Si celle-ci est régulière, la base est formée par des systèmes linéaires.

Le nombre p, qui entre dans le dernier théorème, ne diffère pas du nombre que M. Picard a désigné par la même lettre à la page 241 du Tome II de ce Traité, et qui joue un rôle important dans sa théorie des intégrales simples de troisième espèce. En effet, si Ton prend une courbe G,, Go, . . . , G5 de chacun des systèmes formant la base, il n'existe aucune intégrale simple de troisième espèce avant ces seules courbes pour courbes logaritiimiques; mais on peut former une intégrale qui a pour courbes logarithmiques les p courbes nommées et une courbe ultérieure G arbitrairement fixée.

La connexion existant entie la théorie de la base et celle des intégrales simjiiles de troisième espèce permet à M. Severi de répondre à une question importante posée par M. Picard (-). Il démontre en edet que la condition nécessaire et suffisante pour que toutes les intégrales simples attachées à une surface algébrique se réduisent à des combinaisons algébrico-logarithniiques, c'est que la surface soit régulière.

12. Revenons maintenant à la recherche des caractères invariants d'une surface. A côté des invariants (absolus) que nous avons considérés jusqu'ici, il convient de prendre en considération de nouveaux caractères, qui ne jouissent pas d'une invariance rigoureuse vis-à-vis de toutes les transformations birationnelles de la surface; ce sont les invariants relatifs.

On parvient à cette conception très féconde, en partageant les transformations qu'on peut faire subir à une surface en deux classes :

1° Attribuons à la première classe les transformations qui font cor-

(') Comptes rendus de l'Acad. des Se. 6 février 1905; un .Mémoire plus détaillé sur ce sujet paraîtra prochaiiieiucnt dans les Matheni. Annalen. ( = ) Ce Traité, t. II, p. 144.