RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA TIIÉOIUE DES SURFACES ALGÉBRIQUES

respondre sans e.vcepdon un point à cliaque point simple de la surface donné, et une courbe à chaque courbe de celle-ci (•);

■2" Attribuons, au contraire, à la seconde classe les transformations qui font correspondre à un ou à plusieurs points (en nombre fini) des courbes (exceptionnelles), ou vice verset.

Nous appelons alors invariant relatif de la surface tout caractère de celle-ci, qui est invariant vis-à-vis des transformations birationiielles de la première classe. Une transformation de la seconde classe modifie en général ce caractère, à moins que la transformation ne change autant de points de F en courbes exceptionnelles, que de courbes exceptionnelles de F sont transformées en points.

^'oici maintenant quelques invariants relatifs fondamentaux qui appartiennent à une surface algébrique quelconque.

Parlons d'abord d'une surface F„ d'ordre n, de genre />„> o. Une surface o,,^^, d'ordre n — 4i adjointe à F„., coupe celle-ci (en dehors de sa courbe double) suivant une courbe composée par une courbe canonique et les courbesexceptionnelles qui peuvent exister surF„(-). Or, la première partie jouit de la piopriélé d'invariance (en une acception absolue); son genre /j" constitue donc un invariant absolu de la surface, qu'on appelle, d'après .M. Nother, le genre linéaire (■^).

Mais si, en ne faisant pas abstraction des courbes exceptionnelles, on évalue le genre de la courbe composée qui constitue (en dehors de la courbe double) l'entière intersection de F,^ avec 'f„4, on obtient un nombre w qui est un invariant relatif de la surface.

Or le nombre to peut être évalué en fonction des caractères d'un système linéaire quelconque tracé sur la surface F„, et de ceux de son adjoint, soit, par exemple, en fonction du genre tt des sections planes de F„, de l'ordre n, et du genre -' des intersections de F„ avec les surfaces adjointes {'^n-z) de l'ordre n — 3; on a, en ellet,

w = tt' — 3 ( r — 1 ) -f- n.

L'importance de cette formule découle de la remarque suivante :

L'expression t:' — 3(7: — i) -H « a un sens, même dans le cas oà la surface donnée a le genre /V = o; elle conserve d'ailleurs toujours son invariance relative, vis-à-vis des transformations de la

(') Nous passons sur la ditlicullé inhérente aux point» singuliers, dont il est j)ermis d'ailleurs de faire abstraction. ( ^) Tome II, page ii8.

(^) Tome I, page 2o5.

5oO NOTE V.

première classe. Ce fait est une conséquence presque immédiate de la propriété fondamentale du système adjoint (').

Ou pourrait de même former avec le degré ii' du système découpé sur F„ par les surfaces '^n-z ^^^ expression qui jouit aussi d'une invariance relative, à savoir

celte expression, lorsque y:>^ >- o et que la surface F„ ne possède pas de courbes exceptionnelles, exprime le degré du système canonique.

Mais on a toujours

ce qui donne une généralisation d'une formule bien connue de M. Nôther (2).

13. Un autre invariant relatif, qui va jouer un rôle important dans rétude des surfaces appartenant à la classe des surfaces réglées, peut être obtenu, d'après MM. Zeuthen et Segré, de la manière suivante : prenons sur la surface F un faisceau linéaire de courbes C, de genre tt, doué de «points-base (simples ou multiples); il y aura, en général, un certain nombre o de courbes C douées d'un point double, en dehors des points-base; or l'expression

ne dépend pas du faisceau considéré, mais seulement de la sur-r face F, dont elle constitue un invariant relatif (^).

ik. Comparons maintenant les deux invariants relatifs o et I, d'une surface F.

Lorsqu'on transforme F par une transformation birationnelle, qui fait correspondre une courbe exceptionnelle à un point de F, le nombre w diminue d'une unité; au contraire I augmente d'une unité par la même transformation.

Il s'ensuit que l'expression w + I ne change pas, c'est-à-dire qu'elle constitue un invariant absolu de F; on a d'ailleurs (d'après une formule de M. Nôther)

(') Enriques, Jntroduzione alla geometria sopra una superficie algebrica, n* 41 {Memorie délia Società italiana délie Scienze, 3« série, t. X, 1896).

(^) Loc. cit.

(^) Cf. Castelnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni fondamentali..., loc. cit., n" 6.

(*) Castelnuovo et Enriques, loc. cit.

RÉSULTATS XOL VEAUX DANS LA THÉORIK DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5o I

On trouvera dans le texle (page 4IÎ?) un invariant relatif lié aux précédents et qui se rattache au nombre des cycles à deux dimensions du ne surface.

15. L'étude des invariants relatifs appartenant à une surface nous amène à considérer de plus près les courbes exceptionnelles.

Tous les géomètres qui se sont occupés des surfaces algébriques savent bien que la présence de ces courbes, qui peuvent se transformer en points, introduit dans la théorie une difficulté svstématique. C'est, d'ailleurs, une difficulté propre aux. surfaces, qui n'a rien d'analogue dans la théorie des courbes. Aussi plusieurs efforts ont été faits |)Our éliminer cette difficulté, autant que possible. Depuis son premier Mémoire (de 1898) l'un de nous (Enriques) avait piévu que toute surface F(quelques cas particuliers exceptés) aurait pu se transformer en une nouvelle surface F dénuée de courbes exceptionnelles; il est revenu ensuite sur le même sujet, en 1896.

Mais ces résultats partiels n'ont plus d'intérêt aujourd'hui, puisque la question vient d'être résolue heureusement d'une façon précise et complète.

On démontre, en effet, qu'étant donnée une surface F, on peut faire disparaître Tune après l'autre ses courbes exceptionnelles, par un proct'-dé qui s'arrête nécessairement (en faisant disparaître toutes ces courbes), si la surface F ne possède aucun système linéaire de genre - (|uelconque et de degré « > 27: — 2. Mais si, au contraire, un tel système existe (ainsi (|ue nous le dirons plus loin), la surface F peut être transformée en un jdan ou en un cylindre, c'est-à-dire qu'elle appartient à la classe générale des surfaces réglées (rationnelles ou irrationnelles). On a donc le théorème (') :

Toute surface F, qui n'appartient pas à la classe des surfaces réglées, peut être transformée en une nouvelle surface F' qui naainet aucune courbe exceptionnelle, de sorte qu'à chaque point et à chaque courbe exceptionnelle de F corresponde sans exception un point sur F'.

Par suite, en dehors de la classe des surfaces réglées, il ne peut y avoir sur une surface quelconque qu'un nombre fini de courbes exceptionnelles: au contraire, il y en a un nombre infini sur les surfaces rationnelles et sur les réglées et leurs transformées.

IG. Si l'on transforme une surface F par deux transformations différentes, de façon à éliminer ses courbes exceptionnelles, on obtient

(') CAsTtLNCovo et Enriques, loc. cit., u° IS.