O2 NOTE

deux surfaces F', F", qui se correspondenl poi/it par poini, sans exception. En d'autres termes, toutes les correspondances birationnelles entre des surfaces qui n'ont pas de courbes exceptionnelles appartiennent à la première classe des transformations, au moyen desquelles nous avons introduit les invariants relatifs.

On voit maintenant comment on peut déduire un invariant absolu de chacun des invariants relatifs co, 1, que nous avons définis.

Soit F une surface douée d'un nombre fini e de courbes exceptionnelles, et soit F' une surface transformée de F ne possédant aucune courbe exceptionnelle. Calculons, par exemple, l'invariant relatif w par rapport à F, et formons l'expression

Elle a la même valeur que l'invariant to calculé par rapport à F'. Elle est donc un invariant absolu de F, qu'on appelle genre linéaire p'-^^ ('), parce qu'elle se réduit au genre des courbes canoniques, lorsque le genre /)^ de F est plus grand que zéro. On a d'ailleurs />''^^i.

11 est aisé de comprendre l'importance de la définition plus étendue du genre linéaire d'une surface que nous venons de donner. Il suffit de remarquer qu'en désignant par Pj le /-genre de la surface, on établit la formule

«t pour les surfaces régulières {p^ ^= pn ^= p)

pourvu qur ron aityjf''>»i (-).

17. Dans la définition qui précède nous avons dû laisser de côté les surfaces rationnelles et les réglées ou leurs transformées. Car en ce cas on ne peut plus se reporter à une image convenable de la surface, dénuée de courbes exceptionnelles.

Mais on élend aisément à ces cas la définition du genre linéaire/^''', en appelant /j''* le maximum que peut atteindre le caractère w pour une transformée quelconque de la surface (•^).

(') Castelnuovo et Enriques, loc. cit., n" 20.

( ^ ) Pour pW =1 on peut construire des surfaces pour lesquelles P, > /7 -t- i . — Cf. Enriques, Rendic. délia B. Accad. d. Lincei, 1898. (^) Castelnuovo et Enriques, /oc. cit., n" 21.

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5o3

On trouve alors que dans la classe des surfaces rationnelles le ma\imuin /)<'' de w est atteint par le plan (^C =: lo), et, dans la classe de surfaces représentables sur une réglée de genre /?, le maximum est atteint par cette dernière surface [z^''' =: — S {p — i)-|-i]. On a ainsi une définition tout à fait géncvalc du genre linéaire. L'évaluation de ce nombre dans les cas concrets se rattache a la question de reconnaître si une surface donnée peut être transformée en une réglée. Cette question sera résolue dans la seconde partie de celte Note.