SECONDE PARTIE

18. La théorie générale des surfaces, dont nous venons de parler, montre sa fécondité lorsqu'on cherche à en appliquer les résultats à des classes particulières de surfaces. Parmi celles-ci, nous allons étudier maintenant les surfaces réglées, et celles qui admettent un groupe continu de transformations birationnelles en elles-mêmes.

Rappelons qu'une surface /(x, r, ^ ) =: o est dite rationnelle (ou H?iiciirsale), si l'on peut exprimer les coordonnées j", r. ^ de chacun de ses points par des fonctions rationnelles de deux paramètres u, c, de telle soi-te que u, r s'expriment à leur tour rationnellement à l'aide <le X, y, z.

La famille des surfaces rationnelles rentre comme cas particulier dans celle des surfaces réglées ou leurs transformées: pour ces surfaces [/(^, /, :;)=:o] les coordonnées d'un point sont des fonctions rationnelles d'un paramètre ^, et de deux variables X, Y liées par une relation algébrique de la forme

9(X, Y) = o (équation d'un cylindre).

Au point de vue algébrique, la détermination de la famille des surfaces réglées el, en pailiculier, des surfaces rationnelles, fournit la réponse au problème suivant :

Etant donnée une é<juation algébrique

fiT,r,z) = o

5o4 NOTE V.

entre trois inconnues, reconnaître si elle peut être transformée rationnellenient de façon à éliminer une, ou, en particulier, deux inconnues.

Dans celte recherche, on peut se placer à deux points de vue :

a. On cherche d'abord à obtenir la transformation demandée, en construisant sur /"certaines fonctions rationnelles de x, y\ z par un procédé qui permet de décider toujours par un nombre fini d'opérations si la transformation est possible ou non. On arrive ainsi à établi iune détermination des surfaces rationnelles et réglées à l'aide de caractères qua lita t ifs .

b. On cherche à éta])lir les conditions d'existence delà transformation demandée, en évaluant les caractères invariants de la surface. ( )n arrive ainsi à une détermination des surfaces rationnelles et réglées à l'aide de caractères quantitatifs.

19. Examinons d'abord un cas particulier. Supposons que l'équation de la surface ait la forme z-=^f{œ^ y).

Nous allons expliquer en quel sens on est parvenu à résoudre en ce cas la question proposée, soit en se plaçant au point de vue «, soit au point de vue b.

Il s'agit de chercher les conditions auxquelles doit satisfaire la courbe plane f^=-o pour que la surface :;-=y(^, y) soit rationnelle; on donne à cette surface le nom de plan double qui a la courbe limite /:=: o.

Glebsch a posé ce problème et en a examiné un cas; M. Niither, en reprenant la question, dans toute sa généralité, est parvenu au résultat suivant :

Pour que la surface z-^f{œ, y) soit rationnelle, il faut et il suffit que la courbe f puisse se ramener, par une transformation birationnelle du plan x, y, à V un des types suis-an ts :

1° Courbe d'ordre in quelconque douée d'un point multiple d'ordre in — 2 ;

2° Courbe générale du quatrième ordre:

Z" Courbe du sixième ordre douée de deux points triples infiniment voisins.

On peut, d'ailleurs, décider a priori si une courbe donnée/ peut être transformée en un des types nommés.

Supposons que l'ordre de la courbe / et les multiplicités de ses points singuliers distincts soient des nombres pairs in, 2 i^, 2^2, .. . •

RÉSULTATS NOLVEALX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. .Jo5

on peut toujours satisfaire à ces conditions en recourant, s'il est nécessaire, à iine transformation birationnelle préalable de la courbe y.

Appelons maintenant courbe adjointe d'indice /i(i=i, 2, ...)à la courbey une courbe d'ordre in — 3/i; assujettie à passer avec ii — k branches par tout point 2 tP^'^ de/. On reconnaît alors que, si la courbe/ peut se ramener à l'un des types de Clebscli-Notlier, elle ne possède aucune courbe adjointe dont l'indice soit ^2, et vice versa; donc, la non-existence des courbes adjointes d'indices 2, 3, ... à la courbe f est la condition pour que la surface z-^=f{cc, y) soit rationnelle, ou puisse être transformée birationnellement en une surface réglée ('). La seconde éventualité regarde certains cas de réduction de la courbe/, précisément le cas où la courbe/se compose d'un certain nombre de courbes rationnelles appartenant à un même faisceau.

Au moyen des relations qui existent entre les courbes canoniques, bicanoniqiies. . . . d'une surface ;-=/(.r, y) et les courbes adjointes des différents indices à la courbe/, on peut transformer ce résultat en le suivant, plus expressif que le théorème de Clebscli-iNother :

Une surface z-=:.f{x, y), dont le genre géométrique pg, le bigenre P,, le trigenre P3, . . . sont nuls, est rationnelle ou peut être transformée en une surface réglée (-).

D'après la condition qualitative qui précède, il suffit même de vérifier que

où V est le plus grand entier ^ ^, n étant l'ordre de/, et l'on en

déduit P,^ui = o, ....

Mais des conditions plus expressives découlent du n° 2G. 11 est à souhaiter qu'on y parvienne d'une façon élémentaire, en développant l'analyse des courbes adjointes d'ordre k sur le plan.

20. Ces théorèmes nous amènent à quelques applications remarquables en elles-mêmes, et qui constitueront le point de départ de l'analyse générale que nous nous proposons d'établir.

Supposons qu'une surface / possède un système linéaire 00' de courbes rationnelles. On peut d'abord, d'après M. Xother, transformer birationnellement la surface en une autre/ possédant un système x'

(') Castelnuovo et Enriques, Suite condizioni di razionalità dei piani doppi {Rendic.del Circolo matein. di Palermo, t. XIV, 1900). (- ) Loc. cit.

5o6 >OTE V.

de coniques, découpées par les plans passant par une droite, qui aura la multiplicité n — 2 si la surface/ a l'ordre n. Or, cette surface/', à Taide d'une projection efTectuée d'un point de la droite nommée, se représente sur un plan double, dont la courbe limite a un certaiu ordre lin et possède un point multiple d'ordre im — 2.

Il résulte, d'après le théorème de Glebsch-Nôther, que la surface/' et, en conséquence, la surface/, est rationnelle; d'où le théorème de M. iXother :

Une surface qui possède un système linéaire 00' de courbes rationnelles est rationnelle (').

Supposons, en second lieu, qu'une surface possède un système linéaire 00' de courbes elliptiques, système ayant (au moins) un pointbase simple. L'existence de ce système fait voir d'abord que la surface a le genre géométrique/»^, et les plurigenres P.,, P^, . . . nuls; elle permet en outre de représenter la surface sur un plan double, en représentant, sur les points d'une droite variable d'un faisceau, les couples de points de la série g\^ qui appartient à lune des gc' courbes elliptiques et qui possède un point double au point-base nommé. En recourant au dernier théorème du n" 19, on a donc :

Une surface qui possède un système linéaire oc' de courbes eliipliques ayant {au moins) un point-base simple, est rationnelle ou peut être transformée birationnellement en une surface réglée^ qu'on voit d'ailleurs être elliptique ('-).

Enfin, dune manière analogue, on démontre qu'une surface contenant un système linéaire co' de courbes hyperelliptiques de genre -k quelconque, système ayant des points-base dont les multiplicités donnent une somme supérieure à 2t — 2, est rationnelle ou peut être représentée sur une surface réglée (^).

De ces théorèmes résultent des propositions, dont le lecteur verra de suite l'importance, quoiqu'elles soient moins expressives que les théorèmes primitifs.

Une surface dont les sections planes sont des courbes rationnelles est elle-même rationnelle.

(') M. NôTHER {Math. Annalen, t. III) y parvient d'une manière directe, en construisant sur la F' une courbe qui rencontre en un seul point chacune des x' coniques. Voir aussi page i-ji de ce Traité (en note).

(') Castelnuovo et Enriques, Suite condizioni di razionalità. . ., toc. cit.

(^; Loc. cit.

RfiSlLTATS NOIVEAUX DANS LA THÉORIE DES SLIIFACES ALCiÉlîIUQl ES. OO7

Vue surface dont les sections planes sont des courbes elliptù/ues est rationnelle ou réglée (').

Une surface dont les sections planes sont des courbes hyperelliptiques de genre quelconque est rationnelle ou réglée (-).

On peut voir une démonslralion du premier lliéorème à la page Og du Tome JI. Aux deux autres nous étions déjà parvenus par des procédés directs, tout à fait difTérenls, avant d'avoii- démontré les propositions générales d'où nous venons de les déduire.

2t. A côté des résultats précédents, on peut placer d'autres théorèmes, en quelque sorte analogues, où, étant donnés sur une surface des systèmes particuliers de courbes, on conclut que la surface peut être transformée en une réglée.

Lue surface réglée, ou une surface qui peut èlre transformée hirationnellement en celle-ci, contient un faisceau de courbes rationnelles, c'est-à-dire une série oc* telle que par tout point de la surface passe uue seule courbe de la série. Inversement, pourra-t-oii aflirmer que toute surface contenant un faisceau de courbes rationnelles peut être tiansformée en une surface réglée? M. Nôlher (^) a abordé cette question; il a démontré qu'on peut, par une transformation préalable, changer la surface en une autre contenant un faisceau de droites ou de coniques. Dans le premier cas la question est tranchée: dans le second il s'agit encore de chercher si l'on peut tracer sur la surface une courbe qui découpe chaque conique eu un seul point. Or I existence d'une telle courbe a été démontrée par M. Nôlher dans 1 hypothèse que le faisceau soit rationnel, ainsi que nous l'avons dit au n° 20; et dans l'hypothèse d'un faisceau quelconque la démonstration a été donnée par l'un de nous.

On a donc le théorème :

Toute surface contenant un faisceau de courbes rationnelles peut être transformée birationnellenicnt en une surface réglée {'*).

Une autre propriété de toute surface réglée c'est qu'on peut construire sur elle des svstèmes linéaires de courbes (coupant en un

(') Castelnuovo, Rendic. delta B. Accad. d. Lincei, 1894.

(-) Enriques, Rendic. délia R. Accad. d. Lincei, 1898 : Matliem. Annalen, t. XLVI.

{') Math. Ann., t. III.

(*) Eniuqles. Sopra le superficie algebriche che contengono un fascio di curve razionali ( Math. Ann.. t. LU).

5o8 .NOTE V.

seul point chaque génératrice), ayant le même genre et les dimensions aussi grandes que l'on veut. Or celte propriété caractérise entièrement la famille des surfaces réglées et de leurs transformées.

Plus précisément : une surface contenant un système linéaire de courbes de genre t: > i» et dimension /•£; 3- — 5, peut être transformée en une surface réglée rationnelle ou irrationnelle (pour - = i, 2, voir le n° 20) (').

En eftet, si l'on impose aux courbes du système les 3(t: — 2) conditions de passer doublement par - — 1 points arbitraires de la surface, on obtient ou bien un système linéaire de courbes de genre 2, auquel on appliquera un théorème du n° 20. ou bien un système de courbes réductibles auquel on peut appliquer le théorème énoncé cidessus.

22. Nous supposons maintenant qu'une surface /(a:, y, z)^=o soit donnée sans aucune restriction a priori\ nous ne connaissons, par conséquent, sur celle-ci aucun système remarquable de courbes. Nous allons développer un procédé général, d'après lequel il sera toujours possible de reconnaître si la surface / appartient à la famille des surfaces rationnelles et réglées.

Envisageons le système linéaire [ C ] constitué par les sections planes de la surface/.

Construisons le système | C'| adjoint à | G j, puis le système |C"| adjoint à | C'|, et ainsi de suite. On parvient ainsi à une série de systèmes adjoints successifs, IC], | G'j, |C"|. ....Deux cas peuvent se réaliser. Ou bien la série a un nombre infini de termes; ou bien elle s arrête après un nombre fini d'opérations, parce qu'on arrive à un système |C'| qui ne possède aucun svstème adjoint. Cette distinction est essentielle, car elle ne dépend pas des transformations birationnelles qu on peut appliquer à la surface /. D'une manière précise, si l'on transforme birationnellenjent la surface/ en une nouvelle surface/i, et si l'on construit les systèmes adjoints successifs en partant du système des sections planes | Ci| de /i, on parvient à une nouvelle série, qui sera infinie ou finie, selon que le premier ou le second cas se présente pour la série relative à/(^). On est donc porté à répartir les surfaces en deux familles, Tune composée des surfaces sur lesquelles le pro-

(') Cf. ExiuQUES, Su/la massiina dimensione . . . {Atti deW Accad. délie Scienze di Torino, 1S94).

(') Castelxuovo et Exriques, Sopra alciine questionl fondamentali. . ., toc. cit., n» 12.

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA TIlftORIK I)KS SIRFACKS ALGÉBRIQUES. Sog

cédé (radjonctinii peut se poursuivre à l'infini, l'aulre des surfaces sur lesquelles ledit procédé a un terme après un nombre fini d'opéralions. A la première famille appartient, par exemple, toute surface d'ordre > 3 n'ayant aucun point singulier, nu, d'une manière générale, toute surface dont le genre géométrique ou le bigenre... est supérieur à zéro.

La seconde famille comprend les surfaces rationnelles et les surfaces représentables birationnellenient sur les surfaces réglées; elle ne comprend pas d'autres surfaces en dehors de celles-ci, et c'est là un résultai essentiel de la théorie, que nous nous proposons de résumer.

Il y a lieu de faire de suite la remarque suivante : une surface qui renferme un système | C | au moins de courbes de genre - quelconque, dont le degré est n > 27: — 2, appartient à la seconde famille; en effet les courbes adjointes successives C, C", . . . rencontrent la G en des groupes composés d'un nombre décroissant de points. Vice versa, sur toute surface de la seconde famille on peut construire un syslème tel que I C |; il suffit de prendre, dans la série des systèmes adjoints successifs à un svstème quelconque, un terme assez éloigné de celui-ci.

Une surface /'delà seconde famille a, d'après ce qui précède, />n. = o et, par conséquent, Palo\ posons />« = — pip^ o). Nous allons fixer notre attention sur le dernier système | G' |, de dimension r, 1^ i , qu on rencontre en parcourant une série de systèmes adjoints successifs, par exemple la série qu'on obtient en partant des sections planes de/. Ou voit de suite (|ue ce svstème a le genre -, ^/^4-i. Mais un examen plus approfondi, où le théorème de Riemann-Roch ( n° 3) et Finvariant 1 de Zeuthen-Segre vont jouer un rôle essentiel, permet d'établir que la dimension du svstème | G' | est /•, J3r, — 5, si le système est irréductible. Si, au contraire, |C' | est réductible, les composâmes irréductibles des courbes G', ou bien forment un système linéaire satisfaisant à l'inégalité qui précède, ou bien sont des courbes rationnelles qui appartiennent à un faisceau de genre p. Si l'on se reporte maintenant aux résultats des n°* 20, 21, on parvient à établir le théorème fondamental suivant :

Toute surface, sur laquelle le procédé d'adjonction s'épuise par un nombre fini d'opérations, peut être transformée birationnellenient en une surface réglée rationnelle {pa.=^o) ou irrationnelle

{pa<0)C).

Le problème de reconnaître si une surface appartient à la famille

(') Castelnuovo et Exriques, Sopra alcune qiiestioni fondamentali. . . , loc. cit., n° 15.

ÛIO XOTK V.

des surfaces rationnelles et réglées, se trouve résolu par le théorème énoncé, au j^oint de vue qualitatif {a) du n° 18.

Ce théorème conduit à des conséquences remarquables; parmi celles-ci, quelques-unes avaient été déjà établies avant de posséder le théorème cité, par une application plus limitée du même procédé d'adjonction, qui a joué le rôle essentiel dans la démonstration rappelée ci-dessus.

D abord nous sommes maintenant en mesure de donner plus de précision aux résultats du n" 21.

Il suffit, en elTet, de rappeler la remarque du n° 13, pour qu'on puisse énoncer le théorème suivant :

Toute surface qui renferme un système au moins cc^ de courbes de genre - quelconque et de degré n^ir^ — 2, peut être transformée en une surface réglée rationnelle (/)„ = o) ou irrationnelle {pa-<o) : on peut même supposer le système 'yz''\ si t: > o.

Ce théorème renferme les cas particuliers concernant les surfaces dont les sections planes ont le genre -1=0, i, •?., que nous avons cités au n° 20.

En faisant 7:=: 3, on obtient déjà un résultat nouveau, à savoir : les surfaces d'ordre > 4, dont les sections planes ont le genre 3, sont rationnelles, ou peuvent être transformées en une surface réglée de genre pSo.

23. \ oici maintenant une conséquence remarquaide du dernier théorème, qui regarde la définition môme d'une surface rationnelle.

Supposons que les coordonnées d'un point variable sur une surface s'expriment par des fonctions rationnelles de deux, paramètres

la surface est certainement rationnelle si l'on peut résoudre les (i) en exprimant u, v par des fonctions rationnelles de j:, y, z. Mais il n'en est pas toujours ainsi. Il peut se faire qu'à tout point [x, r, z) de la surface correspondent /i > 1 points («, «•) d'un plan; dans ce cas la surface se représente sur une imolution plane de oo"^ groupes de n points. Est-ce que la surface sera encore rationnelle? Il s'agit de voir si l'on peut remplacer u, c par deux nouveaux paramètres «', ç' (fonctions rationnelles de «, ç)^ tels que .r, y, z s'expriment rationnellement par «', t'', et u' , c' s'expriment à leur tour rationnellement par œ, y, z.

Remarquons, à cet elTet, qu'aux droites du plan («, c) correspon-

RÉSILIAIS >OLVKAL\ DA>s I.A 1 IIÉOKIE DES SI 11 PAC ES ALCiÉnUIQUES. 5ll

dent sur !a surface des courbes C, d'un cerlain genrti-, appartenant à un même svslème complet.

Or on démontre : i° que ce système a la série caractéristique complète; 2" que le degré du système est n'>'i- — 2, ce qui permet d'appliquer le tliéorème du n" 22. On conclut donc que : une surface, dont les coordonnées d' un point variable s'expriment par des fonctions rationnelles de deux paramètres, est rationnelle {^).

Il y a lien de généraliser ce résultat de la façon suivante :

Supposons que les coordonnées .r, r, ^ du point général d'une surface / s'expriment par des fonctions rationnelles des coordonnées X, Y, / d'un point variable sur une surface réglée (cvlindre) '^

A tout point de /'correspondent, au moven des relations (i), n^i points de 'j;, formant un groupe dune involution x- sur la surface réglée. Inversement à tout point de o correspond un point dey'; et si le premier point parcourt une droite X := /<, \ r= /,• [où ■ç.(A, /. ) = o], le second point parcourt une courbe rationnelle dey. La surface y contient donc x' courbes rationnelles formant une série algébrique. Or, si par tout point de y passe une seule courbe de la série, la surface/" est représentable birationnellement sur une surface réglée (n'' -!)• Dans le cas contraire, on démontre que les x' courbes rationnelles appartiennent à un même svstème linéaire, dont les courbes générales ont un certain genre - et se rencontrent deux à deux en /i > 2- — 2 points variables; on conclut ( n° 22 ) que la surface/esL rationnelle, puisque l'éventualité qu'elle puisse être transformée en une surface réglée irrationnelle doit être exclue par la présence de x' courbes rationnelles ne formant pas un faisceau. On parvient ainsi au théorème :

Si les coordonnées d'un point variable sur une surface sont des fonctions rationnelles des coordonnées d'un point d'une surface réglée, la première surface elle-même peut être ramenée à une réglée {rationnelle ou irrationnelle) par une transformation birationnelle.

Ou bien :

Les groupes d'une imolution quelconque située sur une surface

(') Castelnuovo, Sulla razionalità délie involuzioiU piane {Matliem. Annalen. l. XLIV).

réglée pein-ent être représentés bi rationnellement sur les points d'un plan ou d'une nouvelle surface réglée (^).

On peut exprimer Je même résultat sous une autre forme, en disant (|ue :

Une surface possédant une série algébrique {au moins oc') de courbes rationnelles, peut être transformée birationnellement en une surface réglée, si la série est un faisceau, ou bien elle est rationnelle.

Une autre conséquence du théorème du n° 22 a été déjà énoncée au sujet des courbes exceptionnelles (n« 10).

En eilet. dés qu'on a démontré qu'une surface, qui ne renferme aucun système de genre - et de degré n >- 2- — 2. possède un nombre fini de courbes exceptionnelles, on conclut que toute surface possédant un nombre infini de telles courbes peut être transformée en une surface réglée (rationnelle ou irrationnelle) (-).

2i. Nous nous plaçons maintenant au point de vue {b) du n° 18, en cherchant à déterminer la famille des surfaces rationnelles et réglées par les valeurs de leurs caractères invariants.

Il y a lieu dans cette recherche de recourir à des méthodes différentes, suivant que la surface est régulière ou irréguliére (surfaces rationnelles et surfaces irrationnelles).

Soit d'abord une surface régulière de genre p^, ^ Pa =: o. A partir de ses sections planes G, nous construisons les systèmes adjoints successifs

Puisque l'on a Pg=^ o, le système | G' j ne contient pas ] G |; mais il peut se faire que | G" | renferme | G |; dans ce cas le bigenre P2 ^ i, et la surface n'est certainement pas rationnelle. Supposons au contraire p2 = o; en examinant alors la série des points que | G" | découpe sur une courbe G, on trouve une inégalité arithmétique entre les genres de trois systèmes adjoints successifs, d'où il résulte que les genres -, ti', tz", . . . des systèmes adjoints forment, à partir d'un certain terme, une série décroissante, qui a nécessairement un nombre fini de termes. On en déduit le théorème :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface soit ra-

( ' ) Castelxcovo et Exriques, loc. cil., n" 17. (-) Castelxuovo et Enriques, loc. cit., n" 18.

RÉSULTATS NOIVEAIX DANS LA THÉORIE DES SI RFACES ALGÉBRIQUES. 5l3

tionnelle est que le genre arithniélique et le higenre soient nuls ( ' ). (La relation /^. := o résulte de I^o = o ).

On a donc le moyen de caractériser la classe des surfaces rationnelles par les valeurs particulières que prennent certains invariants, en un sens analogue à celui qui permet de caractériser les courbes rationnelles par la valeur du genre/» = o. Toutefois, K^ résultat établi pour les courbes ne s'étend pas auv surfaces de la manière qu'on pourrait supposer, car on peut donner des exemples de surfaces ayant />„=r=/?a= o et P, > o. ^nJ "6 sont pas, en conséquence, rationnelles. Le lecteur pourra les trouver à la page 148 et suivantes du tome IL

25. Avant de passer au cas /»„ < o, nous nous arrêterons un moment sur la remarque suivante.

Au sujet des surfaces rationnelles il convient de faire la distinction qui suit.

Soit y(a;', r, :;) = o une surface rationnelle; on pourra donc exprimer X, y. z par des fonctions rationnelles invertibles de deux paramètres m, r. Mais il arrivera généralement que, dans les coefficients de ces fonctions, entreront des irrationalités arithmétiques. A ce point de vue on est porté à établir, parmi les surfaces rationnelles, une classification ultérieure d'après la nature de ces irrationalités. On y parvient en s'appuyant encore sur le procédé d'adjonction, car il suffit d'examiner le dernier système adjoint (au moins a;-) qu'on obtient en partant des sections planes de la surface.

On est porté ainsi à distinguer des types de surfaces rationnelles, dont la représentation sur un plan dépend respectivement de racines carrées ou cubiques, et des ii rationalités définies par une des équations que l'on rencontre dans la bissection des fonctions hyperelliptiques de genre /> = 1 , 2, 3. . . ou des fonctions abéliennes du genre 3 ou \ (- ).

26. Soit maintenant une surface irrégulière de genres p^z^o., Pa<i^' A partir des sections planes C, construisons la série des sj^stèmes adjoints successifs

Cette série ne s'arrête pas si l'on a, pour quelques v^aieurs de «',

(') Castelnuovo, Suite superficie di génère zéro, toc. cit.

(') ExRiQUES, Suite irrazionalità. . . {Matliem. Annalen, t. XLIX).

c'est ce qui arrive certainement si la surface / a un nombre fini de courbes exceptionnelles, lorsque

Mais on ne peut pas être assuré directement de la non-existence d'une surface n'appartenant pas à la famille des réglées et ayant, par conséquent, un nombre fini de courbes excej)tionnelles, pour laquelle

Ainsi le critérium qualitatif établi au n° 22 ne fournit pas une détermination de la famille des suifaces réglées (/>„<o) à l'aide de caractères invariants.

Un tel critérium serait fourni, il est vrai, dans le cas pa <. — i; pai" l'inégalité

mais le calcul du genre linéaire défini a'u n" 17, de façon à comprendre le cas des surfaces réglées, exige d'établir le maximum d'une certaine expression formée avec les caractères des systèmes linéaires appartenant à la surface, et amène, en pratique, à efTectuer les mêmes opérations que l'on doit effectuer d'après le n° 22.

Il convient donc de traiter la question proposée par une autre méthode, en prenant comme point de départ la propriété caractéristique des surfaces irréguliôres ( n" 'i.), d'après laquelle on sait, en particulier (n" 9), qu'une surface de genres pg z=o, pa<. o, renferme un faisceau irrationnel de courbes K.

Il y a lieu de distinguer deux cas :

En ce cas, il suffit d'évaluer l'invariant de Zeullien-Segre à l'aide du faisceau des courbes K, en tenant compte de l'irrationalité de celui-ci ('); on en déduit que le genre des K est o et, par suite (n° 21), que la surface peut être ramenée à une réglée (-).

Donc : Toute surface de genres p^ =iO, pa<. — i peut être transformée en une réglée.

H. Pu =— I*

Ce cas est beaucoup plus difficile,

(') Castelnuovo et Emîiql'es, toc. cit., n° G, Oss.

(-) F.NRiQUKS, Suite superficie algebriche di génère geoinetrico zéro {liendic. del Circolo Matem. di Palermo, t. \X, 5 marzo).

UÉSULTATS NOl VEAIX DANS LA THÉOKIE DES SLKFACES ALGÉBRIQUES. 5jÔ

El. si.|)|, osant que les Raient le genre 7:>o, on peut envisager sur la surface la série non linéaire des courbes K", secondes adjointes aux coMi'bes K.

I/examen de certaines courbes K', qui se décomposent en une courbe K et en une courbe résiduelle ellipti.pie, conduit à construire sur la surface un faisceau rationnel de courbes ellipùqaes, qui découpent les K en n > i points. On remarquera que ce second faisceau existe même lorsque 7r = G, car alors la surface se ramène à une réglée elliptique: seulement on peut avoir ici « m r.

Maintenant on peut représenter les surfaces de genres />„ — o, /^"=— '' ^^]^ ^^^ cylindres elliptiques multiples, de façon qu'à un point du cvlindre correspondent n points de la surface.

Par l'étude de cette correspondance la construction de toutes les surfaces de genres p^ = o, pa= — i se trouxe ramenée à une transformation de déterminant d'ordre n des fonctions elliptiques.

Dans le cas où n est un nombre premier, on peut transformer biralionnellement la surface en une surface

où X, 1, Z s'expriment à l'aide de deux paramètres u, r par des formules de la forme suivante :

Z = (', Y = Y>'{u I w, to'},

Ut )'

hi < rt, 2, hi £= G ( nnod n ),

Pv ( «O = p ( « ] /« tu, w' ), co,^ := (0 pou r V = ît,

]iv(«) = j)(if I oj — va»', w'), ajv=co' pour v = o, i, -i, ...,«— i

Si l'on envisage maintenant les plurigenres des surfaces que nous venons de construire, on trouve que

P4>o, ou Pc>o, ou bien

ce dernier cas correspondant à Thypothèse t: = o et conduisant par conséquent aux réglées elliptiques.

P. KT S., II. q.

5l6 >OTE Y.

En rapprochant ce résultat du précédent {pa<. — i) et de celui du

n" 24 concernant le cas />a=o, on obtient enfin le théorème général i

suivant (' ) '• '

Les conditions pour qu'une suff ace puisse être transformée birationnellenient en une réglée {rationnelle ou irrationnelle) peuvent

être exprimées en annulant les deux genres d'ordre 4^6: j

Il convient de remarquer que ces conditions ne peuvent être sini- ;

plifiées ultérieurement, car il y a efTectivement des surfaces pour les- ' quelles

jr,^„=P2=P3=Pi=P5=0, P6=l, 2, (p^=-i;, '

et d'autres pour lesquelles j

27. 11 V a lieu seulement d'ajouter quelques remarques au sujet du ]

cas particulier \

Pa< — i- ]

Nous avons vu que toute surface de genres

Pg=^>- Pa< — i

peut être ramenée à une réglée.

Or si, dans la discussion qui précède, on introduit le théorème du n° 9 sous sa forme la plus expressive, on réussit à simplifier le résultat en montrant que la condition p^,^ o est superflue. MM. Castelnuovo ( ^ ) et Enriques (*) ont fait en même temps cette remarque, d'après laquelle il résulte que :

Toute surface de genre numérique p a <C — i peut être ramenée à une réglée.

Ces conditions peuvent aisément être exprimées d'une façon transcendante. En elTet, d'après le n° 8, on voit qa il s'agit de reconnaître que la su/face possède p >■ i intégrales simples de première espèce

(') Enriques, toc. cit.

(-) Castelnuovo, Reiidic. del Circolo Matem. di Palerino, t. W, p. 55.

(•') Enriques, ibid., t. XX, p. tii.

RÉSULTATS NOlVl-Al X DANS I.A TIlfiORIE l)i;S SlUFACKS AI.(ifil!ltigLi;s. 5 1 7

et (fiCeUe ne possède auctiiie inlé^ralc doi/hle de première espèce (/V = o).

Sons celle forme (avec la restriction superlliie que les p iiUégrales simples aienl ip périodes), les coiidilions énoncées avaieol été trouvées antérieurement, c'est-à-dire en 1900 ( ' ).

28. Le problème général de déterminer les surfaces (|ui adinettenl une infinité continue de transformations birationnelles en elles-mêmes a été posé par AI. Picard en i885.

Il y a lieu d'abord de distinguer deuv cas, suivant que les transformations données engendrent un groupe d'ordre fini (au sens de Lie), ou qu'elles engendrent par multiplication uneséiiede transformations dépendant d'un nombre infini de paramètres.

L'analyse de M. Picard se rapporte au premier cas. Elle aboutit aux résultats suivants :

Les surfaces qui admettent un i^roupe continu fini de transformations birationnelles en elles-mêmes se partagent en trois familles :

I» Surfaces hyperelliptiques, douées d'un groupe ce- de transf or mat io ns échan gea h les :

2° Surfaces possédant un faisceau de courbes rationnelles ;

3° Surfaces possédant un faisceau de courbes elliptiques.

Le premier cas, à plusieurs égards le plus important, est caractérisé par M. Picard d'une façon complète : les coordonnées d'un point de la surface sont des fonctions quadruplement périodiques de deux variables, ou. si l'on aime mieux, la surface peut être représentée sur la variété des couples de points de la courbe de genre deux (-).

Dans le second cas, M. Painlevé a remarqué que la surface peut être transformée en une réglée, ce qui résulte à présent du théorème général du n° 21.

Dans le troisième cas il y a lieu de pousser plus avant l'analyse des conditions pour lesquelles une surface, qui renferme un faisceau de courbes elliptiques, admet un gronjje de transformations dont ces courbes sont les trajectoires.

Celte question délicate a été résolue par M. Paiidevé ('). Il résulte

{') Enriquks, Annales de Toulouse, 2= sér., t. III. {■") Voir ce Traité, t. II, Chap. XIV.

(') Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles (I^aris, llcimaiin, 1897), p. 285.

Dl8 NOTE V.

de ses recherches que si une surface admet un groupe continu de transformations birationnelles, dont les trajectoires sont des courbes elliptiques, les coordonnées des points de la surface peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles de

p( M -T- Xoj -I- [JLco' I aoj -H 6to', coj -7- do:>'), p' et de r, w liées par une relation algébrique

Les surfaces qui jouissent d'une telle représentation paramétrique ont été appelées surfaces elliptiques; elles sont caractérisées géométriquement par le fait de renfermer : i° un faisceau, rationnel ou irrationnel, de courbes elliptiques ayant le même module; 2° un autre faisceau elliptique de courbes de genre quelconque, coupant les premières en n = ad — bc jjoints ( ').

Il y a lieu d'ailleurs de déterminer les difïerentes classes de surfaces elliptiques par une analyse de Téquation

Parmi ces classes, il faut nommer les surfaces de genres

Ps = o., pa =—i,

dont nous avons donné les types au n» 26.

Nous pouvons maintenant résumer les résultats que nous venons d'exposer, en énonçant le théorème suivant :

Les sur/aces qui admettent un groupe continu de transformations birationnelles en elles-mêmes rentrent dans trois familles :

1° Surfaces hyperellipLiques, douées d'un groupe transitif 00- de transformations échangeables ;

2° Surfaces réglées, douées (au moins) d'un groupe de transformations, dont les trajectoires sont des courbes rationnelles;

3° Surfaces elliptiques, admettant un groupe (au moins) de transformations, dont les trajectoires sont des courbes elliptiques.

Parmi ces surfaces, il y a en particulier les surfaces douées d'un groupe transitif de dimension r '^ T.; nous avons remarqué (qu'elles

(') Enriques, Rendic. del Circolo di Palermo {loc. cit., 5 niarzo).

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA Tllf-OlUi; DKS SUKFACFS AUGÉBIIIQUES. OI9

se réduisent aux surfaces rationnelles et aux réglées elliptiques ( ' ).

20. La question se pose maiiilenanl de reconnaître si une surface donnée rentre dans une des familles de surfaces douées d'un groupe, ([ui sont classifiées dans le numéro précédent.

Nous allons rendre compte brièvement de Fanalyse, qui a permis de répondre à cette question par la siu)ple évaluation des caractères invariants de la surface ('^).

On remarquera d'abord (avec M. Picard) ([ue les surfaces hyperelliptiques ont

et, ensuite, que les surfaces elliptiques ont

Pa= — i-,

et que leur genre p„ est égal au genre du faisceau des trajectoires elliptiques du groupe.

Soit maintenant une surface, dont le genre arithmétique

Si Pa<. — '■! <J» tombe sur la famille des surfaces réglées (n" 27). Envisageons le cas

Pa= —i-

Il faut distinguer les hypothèses

Pff='^^ Ps>^^ Ps^'^-

Lorsque /5„ = o, la surface renferme un faisceau elliptique de courbes, et un second faisceau rationnel de courbes elliptiques (n°26); elle est par conséquent une surface elliptique, ce qui résulte d'ailleurs de sa représentation paramétrique.

Lorsque /)„> I , puisque

Pg> -i-Pa^ 3,

la surface renferme un faisceau irrationnel de genre > i de courbes

(') Castklnuovo el Enriques, Comptes rendus, juillet iSqô.

{-) Knriquks, Suite superficie algebriche cli génère geometrico zéro; Salle superficie algebriche che ammettono un gruppo continuo (Rendiconti del Circolo maternatico di Palernio. l. XX).

(n" 9), qui soiil criiilleurs elliptiques. Une analvse approfondie montre que le genre du faisceau est précisément/:)^.

Envisageons maintenant les />^H- i intégrales simple^ de première espèce, qui appartiennent à la surface ( n° 8); parmi celles-ci il y en a />^, correspondant au faisceau nommé, dont les périodes se réduisent à 2/3^; on aura par suite une intégrale avec deuv périodes distinctes, qui nous fournira sur la surface un second faisceau irrationnel, et précisément elliptique, de courbes. La surface est donc elliptique.

Soit enfin

Il y a deux intégrales simples de première espèce (n° 8), et, s'il n\ a pas de courbe canonique proprement dite, en dehors des courbes exceptionnelles, on sait que la surface est hjperelliptique (').

Mais il peut se faire qu'il y ait une courbe canonique de genre /?"'=ri; en ce cas. on trouve deux intégrales réductibles aux intégrales elliptiques et. par suite, deux faisceaux elliptiques de courbes, dont l'un est composé de courbes elliptiques, l'autre de courbes a3"ant un genre t^^i. La surface admet en ce cas un groupe elliptique oo' ; elle admet un second groupe analogue, et rentre comme cas particulier dans la famille des surfaces hvperelliptiques, seulement dans le cas - 1= 1 .

Or, comment pourra-t-on distinguer les deux cas des surfaces hvperelliptiques et des surfaces elliptiques correspondant aux mêmes valeurs p^^ \ .pa^= — i ?

11 suffira, pour cela, d'évaluer le genre d'ordre 4- I"*; ; on a, en effet,

Pi = I dans le premier cas,

dans le second.

On peut résumer les résultats obtenus en énonçant le théorème suivant (2) :

La condition nécessaire et suffisante pour qu une surface non rationnelle admette un groupe continu de transformations birationnelles en elles-mêmes, c'est que le genre arithmétique

Pa< O.

( ') Picard; voir ce Traité, t. Il, Chap. \IV, n" 17. (-) Enriques, voir le second Mémoire cité ci-dessus.

nf'Srr.TATS noivealv dans i.a théoiuk des slrfaces ai.gèbriqif.s. 5'2r

On a des surfaces admellanl un groupe rationnel {famille, de réglées) pour Pa<. —I, cl des surfaces elliptiques ou liypereUij)liques si

Pa= — i;

le cas hyperelliptique étant déterminé par les valeurs

Et, en rapprochant ce lliéorème de celui (énoncé au n" 26, on peut dresser le Tableau suivant :

Pa<—^-

Pa = 0-

l», -f- Pfi = 0

(Pl=P6 = 0)

réglées de genre — /;•„

réglées elliptiques

réglées rationnelles

P4-^P6>0 p. Pi 7^1

impossible

surfaces elliptiques admettant un groupe oc'

P4+Pfi>0

/"«-Pi^I (/,,,= P,= .)

impossible

surfaces hyperelliptiques

30. Il reste enfin à examiner les surfaces admettant une série continue de transformations, qui n'engendrent pas un groupe d'ordre fini.

Il y a lieu de remarquer d'abord qu'on peut construire une telle série sur les surfaces rationnelles et réglées. Or, le théorème du n° 23 nous a permis de démontrer réciproquement que ce cas est le seul possible.

Partons du système | C | des sections planes de la surface/, et transformons-le, en lui appliquant successivement un certain nombre r de transformations arbitraires de la série; nous parvenons ainsi à un nouveau système \Cr\, qui doit avoir nécessairement des points-base multiples, si la série n'est contenue en aucun groupe fini. En faisant abstraction de ces points, on peut calculer le genre virtuel ~r et le