LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE

les équations de cette courbe qu'on suppose ne pas être contenue dans un espace à dimensions moindres, c'est-à-dire que l'on n'a pas entre les 6 de relations identiques telles que

ao'%-i- ai«l;i — . . .-i- a,.'J;,. = 0/,

les a étant des constantes. Si n désigne le degré de cette courbe, il résulte de ce que nous avons dit que ce degré sera déterminé I)ar le nombre des points d'intersection de l'hjperplan

avec la courbe. Ce nombre est donc précisément égal au degré de la série linéaire de groupes de points déterminée, sur la courbe f:^ o, par le système linéaire

(a) /«o'%— /'l'^'i-^- • --^ }ii'\r= o.

Si la courbe (C) n'est pas normale, cette série ^'^ ne sera pas complète. En effet, s'il existe une courbe de même degré «, contenue dans un espace à ;•' (/''> ;') dimensions et dont la courbe donnée soit la perspective, on peut toujours faire en sorte, par une série de transformations homographiques convenables, que la courbe (C) soit la perspective, sur l'espace ^,,i =: o, ..., jr,.==o, d'une courbe (C) dans l'espace (.Ti, .To, . . ., Xr-), eu prenant comme point de vue l'espace Xi = o^ ^2=0, ..., t,-=o, U =: o, où U= o désigne l'équation d'un hjperplan, qu'on pourrait réduire à^/-V|.i = o, Xr^x étant la variable d'homogénéité. Dans ces conditions, les équations de la courbe (C) s'obtiendront en adjoignant aux équations (C) des relations telles que

d'où l'on conclut immédiatement qu'on peut former sur y une série linéaire ^'^ de même degré que la première et la contenant totalement : la série g''^ n'est donc pas complète.

Réciproquement, on verrait de suite, sans qu'il soit besoin d'insister, que si la série g^^ n'est pas complète, la courbe (G) n'est pas normale.

Ainsi donc ces deux notions de courbe normale et de série normale se ramènent l'une à l'autre.

24". Comme application des considérations précédentes, proposons-nous la question de savoir si une courbe plane f (^x , >) = o est normale on non, c'est-à-dire si elle peut être considérée, ou non, comme la perspective d'une courbe gauche du même degré de l'espace à trois dimensions. Les équations de celte courbe gauche peuvent se mettre sous la forme

et si n est le degré de/", et par suite de (F), le système linéaire

définira sur /une série linéaire g\. La question l'evienl donc à savoir s'il y a sur la courbe f une série linéaire de dimension 3 et de degré n. D'autre part le système précédent (|3) contient le système

(y) Kx — hiy-^hi=o

formé de toutes les droites du plan, qui définit sur/" une g'^^. Tout revient finalement à reconnaître si cette série est complète ou non. On appliquera, dans chaque cas, le procédé indiqué plus Iiaut (n'^ 3).

On peut faire la remarque générale que si la courlje/ a au plus n — 3 points doubles, elle est normale. En effet, par n points en ligne droite A faisons passer une adjointe d'ordre n — 2 formée de la droite A, de cl droites passant par les d points doubles, et de n — 3 — d droites arbitraires [n — Z^Zd). Nous avons à considérer ensuite le système linéaire de toutes les adjointes d'ordre n — 2 qui passent par le résidu F formé de tous les points où toutes ces droites, non compris la droite A, rencontrent la courbe/". Or chacune de ces droites a /i ^ i points communs au moins avec cette adjointe, donc elle en fait partie, et par suite, il ne reste (\\\''une dz'oite mobile arbitraire. On retombe sur le système considéré gj^ qui est, par suite, complet.

25. Nous venons de donner un exemple (/« — '6±d) où la courbe est nécessairement normale. Nous allons maintenant exa-