LA GÉOMÉTRIE S-UR UNE COLUBE ALGÉBRIQUE. 3(J

minei" un cas où la courbe ii'esi pas normale. C'est le cas où le

1 1 • 1 II / ■ • ^ ('i — '■^){f^ — 3) nombre des points doubles a est supérieur a

Lne courbe gauche, dont /' est la projection, a ses écpiations de la forme

Il suffit de montrer qu'on peut disposer de a et v de manière que cette courbe soit une courbe gauche de degré n. Prenons pour 1^ ::t^ o uuc adjointe d'ordre n — 2, et pour a une adjointe d'ordre n — i passant par les points de rencontre simples de v et de f. Ces derniers sont en nombre n- — 2/? — id et le nombre des arbitraires dans a est donc éi^al à

Si ce nombre est supérieur à deux, c'est-à-dire si

on pourra prendre pour u une fonction qui ne soit pas de la forme v{Kx -i- By -— C ), et l'on est assuré alors que la courbe (F)

esl gauche : car - n'est pas un poljnome en (^,1) pour .r eti'

arbitraires ; et il ne peut l'être non plus pour (x, y) sur J\ car /'est irréductible et, par suite, on ne peut avoir u -^=^ t'(A.r -r-By — C) pour tous les points de /, sans que ceci ait lieu identiquement.

D'autre part, la courbe précédente est bien de degré /z, comme on le voit en la coupant par le plan y.x -- ^y -~ z -r- ^' =~- o : le degré est égal au nombre des points de rencontre variables des deux courbes f= o, (xx -{- ,3j' -^ v) i^ -4- m = o, et comme u et u ont, en commun avec^', /i (n — 3 — 2 «-/ ~ 2 d = n \[n — 3) points, le degré sera égal à n( n — ij - n(n — 3 1 ^= n.

Comme application, on voit qu'une cubique plane qui n'a pas de points doubles est normale; et qu'elle n'est pas normale si elle a un point double.

4o CHAPITRE II.

V. — Série linéaire de groupes de points sur une courbe gauche. Série déterminée sur une courbe gauche par toutes les surfaces d'un ordre donné.

26. Les séries linéaires de groupes de points que nous avons envisagées jusqu'à présent sont relatives à des courbes planes. Ces notions s'étendent immédiatement au cas des courbes gauches ou, plus généralement, des courbes dans un espace à n dimensions.

Soit, par exemple, dans un espace S/,, la courbe définie par

Le système linéaire des surfaces

(l) hoFoiXi, Xi, X„) — . . .-^ /lrF,.(Xi, X2, X,i) = o

détermine sur cette courbe une série linéaire de groupes de points à laquelle correspond, point par point, une série linéaire sur la courl)ey, dans le plan (x,y).

L'étude de l'une revient à l'étude de l'autre; d'où l'on conclut, sans qu'il soit besoin d'insister, la signification qu'il faut attribuer à ces expressions de série complète, régulière, spéciale, elc, lorsqu'il s'agit d'une série linéaire sur une courbe gauche. Ainsi l'étude d'une série linéaire sur une courbe gauche revient à l'étude de la série correspondante sur la perspective de la courbe sur un plan arbitraire.

La dimension de la série sera égale à la dimension du système des surfaces (i), si, parmi ces surfaces, il n'en existe aucune passant par la courbe : cette condition est l'analogue de celle que nous avons exprimée, pour les courbes planes, en disant que les fonctions 'h du système linéaire de courbes étaient linéairement indépendantes, relativement à la courbe considérée y.

27. Nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, au cas d'une courbe gauche dans l'espace à trois dimensions. Soit C une telle courbe de degré ii et de genre />. Nous nous proposons d'étudier la série linéaire déterminée par le système linéaire formé par V ensemble de toutes les surfaces d'ordre k. Elles déterminent

LA GKOMETIUK SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 4l

une série de groupes gak-, et la dimension r^ de celte série serait connue si l'on connaissait le nombre des conditions exprimant qu'une surface de degré k passe par la courbe, ce nombre étant évidemment égal à r/f-f- i . Nous avons déjà traité ce problème dans le premier Volume (Chap. VIÏI). Nous crovons devoir revenir sur ces considérations, en nous plaçant plus [)articulièrement au point de vue de la théorie des séries linéaires de groupes de points, ce qui nous conduira à quelques conclusions importantes (' ).

28. V^oici d'abord une définition qui nous sera utile : Nous dirons que v points sont indépendants^ sur la courbe C, par rapport aux surfaces de degré k, S/;-, si l'on peut faire passer par V — I quelconques d'entre eux^ une surface Sa, qui ne passe pas par le v" ""^^.

Envisageons alors un groupe G,i de n points, obtenu en coupant la courbe C par un plan arbitraire. Parmi les points de G,,, il y en aura un nombre /;îa.ri/?iz/w v^ qui seront indépendants par rapport à une Sa, tel par conséquent que le passage d'une S/, par v^ points quelconques de G„ entraîne son passage par les /i — v/, autres, mais qu'on puisse par va — i points ou un nombre moindre faire passer une Sa ne passant pas par les autres points du groupe.

Ce nombre v^ est évidemment compris entre o et n.

Si 2 A' H- i <^ Al, on aura

car on peut faire passer k plans par k groupes de deux points pris

dans G„, et qui ne passeront pas par les autres points du groupe

si la courbe n'est pas plane. On aura ainsi une Sa passant par

'2k points du groupe sans passer par les autres; donc va — i^2A'.

Si 2A "4- ir!/i, on aura

VA = n ;

cela est évident d'après ce qui précède.