Ces remarques faites, nous allons commencer par chercher
(') La méthode que nous suivons dans cette section est empruntée à un élégant Mémoire de INI. Castelnuovo, Sui multipli di una série lineare {Rend, di Palermo, t. VII).
une relation entre l'k et rh-\- Dans ce but, considérons la série résiduelle de G„ par rapport à g'j^)^ : elle aura la dimension ;> — va, puisque le fait pour une S^ de passer par G„ vaut précisément VA conditions. Mais la série résiduelle considérée contient évidemment la série ^[);*Zi,„ ou coïncide avec elle; on aura donc
rk— VA^rA i, et par suite
( I ) r/, — TA-j £2 A- — I , SI A- < — ^— , (?) f'k—rk-iùn, SI A^
30. Proposons-nous maintenant de trouver une valeur limite de h à partir de laquelle on soit assuré que la série ^^^. n^est pas spéciale. Nous en déduirons un résultat extrêmement intéressant relatif au maximum du genre p d^ une courbe gauche de degré n.
Considérons toutes les valeurs de k jusqu'à l'entier y immédiatement inférieur à et satisfaisant par suite aux inégalités
Ce nombre y est le nombre cherché. Nous allons montrer, en effet, que la série découpée sur C par les surfaces de degré y n'est pas spéciale. On a
Vy^ay -!- I ^n — 2.
Supposons que la série g''J- soit spéciale. Projetons la courbe C sur un plan en prenant comme point de vue un point A de cette courbe. Nous aurons une courbe C d'ordre n — i et sur cette courbe une série g'j-^ projection de la série considérée qui devrait être spéciale. Une droite D arbitraire du plan détermine avec le point A un plan qui coupe C suivant une G„ qui a Vy points indépendants. Donc, un groupe au moins de la série g' pourrait contenir Vy — I points de C pris sur la droite D sans contenir les autres points de rencontre. La chose est impossible si la série est spéciale, puisque Vy — i est au moins égal à n — 3, et qu'une
LA GÉOiMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 43
adjointe d'ordre {n — i) — ô qui passe par n - ?) points en ligne droite doit contenir la droite. La série g''J: n^est donc pas spéciale.
31. Appliquons le théorème de Riemann-Roch. La série peut ne pas être complète; désignons par dy2o son défaut. On a, puisque la série n'est pas spéciale,
D'autre part, écrivons toutes les inégalités (i) depuis la valeur /•, = 3 jusqu'à /'-^ et ajoutons-les; on trouve
donc
d'où la conclusion que nous avions en vue, puisque dy^o; un maximum du genre p d'une courbe gauche de degré n est donné par la relation
plyS'i — '^ — 'O' Ce remarquable résultat est dû à M. Caslelnuovo (Mémoire cité).
32. Il est intéressant de comparer ce résultat avec un théorème obtenu par Halphen. Celui-ci a établi ( ' ) que le nombre maximum des points doubles apparents d'une courbe gauche de degré «, sans points singuliers, est le plus grand entier contenu dans
/ - — j • Comparons ces deux résultats : soit h le nombre des
points doubles apparents de la courbe C, supposée sans points singuliers. On a alors
(n — \) in — 2) , p = -^ ^ h.
^(re — i)(n — 2)
2 A H- I , on a
( ' ) Halphen, Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques {Journ. de l'École Polytechnique, 1882).
et
les résultats sont identiques.
Si n = 2 À, on a encore
et
Le théorème d'Halphen se trouve établi et est donc compris, comme cas particulier, dans le résultat obtenu par M. Castelnuovo.
On peut remarquer que le minimum de h (ou le maximum de/?) peut être atteint. Si n= a)^, il suffit, pour le voir, de considérer une surface du second degré et une surface d'ordre X. Le nombre des points doubles apparents de la courbe d'intersection étant, dans le cas général, donné par la formule connue
on aura, pour v = 2,
Sii n = 2). 4-1, on considère une quadrique et une surface de degré A -r i passant par une droite de la quadrique. Il y a, en dehors de la droite, une courbe d'intersection de degré 2A-i- t : appliquant alors la formule
relative aux deux courbes d'intersection des surfaces Sj^, Sv, d'ordres ;;i et m' (m-l-m' = av), ayantrespectivement A et A' points doubles apparents, on trouve, en faisant /i'=o, m'=i, ;jl^À-1-i, y =2,
La réciproque est vraie ; pour toute courbe gauche sans point double, ayant le minimum du nombre des points doubles apparents, on peut faire passer une surface du second degré (voir Halphen, loc. cit.), mais la démonstration de ce beau théorème nous entraînerait trop loin de notre sujet.
