LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURRE ALGÉBRIQUE

33. Revenons ù la série ^''^J^. Nous avons dit que cette série pouvait ne pas cire complète, ce dont on se rend très bien compte, puisque, pour déterminer si cette série est complète ou non, il faut envisager la perspective de la courhe sur un plan arbitraire et considérer la série des groupes de points projetés. Une question se pose alors : comment varient les défauts dk de ces séries quand k augmente? Nous allons montrer que les défauts di^ vont en diminuant ou restent fixes, quand k augmente^ et qu'il arrive par conséquent un certain moment à partir duquel d^ reste fixe .

Nous avons vu qu'à partir de la valeur y de A, on est assuré que la série ^'^J;, n'est pas spéciale. D'ailleurs, on a

à partir de A' = y -4- i. Donc, en posant

/•/, = kn^ p — dk, on a la relation

kn — p — dk — [(A- — i) H — p — <i^-i]^/i, ou

dk'SdA-i-

En désignant par tz le nombre y (n — 2 — y) considéré plus

haut, on a

d/c^dyfr. — p.

Par suite, à parti/- d'une valeur de k assez grande, on a /•^.= A/i- — p — d^ o'^d%iz — />,

d étant un nombre fixe compris entre o et ~ — p.

Si. On pourrait se proposer de trouver une valeur de A" à partir

de laquelle dk a atteint certainement son minimum d. M. Castel-

nuovo a démontré (Mémoire cité) que cela a certainement lieu

pour

Nous ne démontrerons pas ce résultat; nous allons seulement chercher à obtenir une expression de d, en prenant pour k un nombre supérieur ou égal k n ■ — 2.

Considérons la perspeclive Y de la courbe gauche C sur un plan, en prenant un point de vue arbitraire O. La courbe F a un certain nombre h de points doubles apparents a, 6, c, ... correspondant aux couples de points (a,, «o), (6,, 6o), ... delà courbe C, puis des points multiples i, projections des points multiples I de cette courbe. Les courbes d'ordre k^n — 2 adjointes à Y déterminent

une série complète g''^ non spéciale, et l'on a, par suite

Donc, les cônes d'ordre k et de sommet O passant par ces adjointes définissent sur la courbe G une série linéaire de même ordre et de même dimension. Ces cônes passent par les points («<, «2^1 ... et par les points multiples L En chaque point I ils coupent la courbe C d'une manière bien déterminée, c'est-à-dire qu'il j a sur chaque branche de la courbe gauche en I autant de points de rencontre qu'en a une adjointe au point i avec la branche correspondante de la courbe Y. Considérons alors toutes les surfaces 'm'j. d'ordre k passant par («,,«2)1 • • • par les points I et se comportant, en ces points, de la manière bien déterminée indiquée pour les cônes de même ordre.

Ces surfaces détermineront sur C la même série linéaire s'';,

puisque la série linéaire correspondant à S'^. est de même ordre que pour les cônes et que la série relative aux cônes est complète'. Envisageons maintenant toutes les surfaces '^k d'ordre k mais passant seulement parles points I, et de la manière indiquée; elles détermineront sur C une série d'ordre

Nous allons montrer que cette série est complète. Il suffit d'établir que le fait, pour une surface S/j, de passer par (a,, «2)5 (6i, 62), ... équivaut exactement k 2/1 conditions ou, en d'autres termes, que ces 2/1 points sont bien indépendants relativement à une S/;. Nous avons donc à faire voir qu'une surface Sy^ peut passer par «1, (/>,, 60), (c,, C2), ... sans passer par «a- Pour cela, considérons dans le plan de Y une courbe d'ordre k — i(k — i^/i — 3) passant par b, Cj ... et se comportant aux points i comme une adjointe, ce qui est toujours possible, mais ne passant pas