LA GÉOMÉTRIE SIR LXE COURBE ALGÉBRIQUE

par a. On aura alors un cône d'ordre A — i ne passant pas par Oa et rentrant dans les Sa,. En lui adjoignant un plan passant par «,, et non par «o, on a bien une Sa qui passe par a,, {h^^b-^), (c,, Co), ... et non par a..

Donc, les S/t déterminent sur C une série non spéciale complète, d'ordre ///,-!- 2 A et de dimension n',.— ih — p.

Nous sommes maintenant en mesure de répondre à la question, que nous nous sommes proposée, d'obtenir une expression du défaut <i; nous y parviendrons en prenant pour k un nombre supérieur ou égal k n — 2.

Soit d'abord le cas le plus simple où la courbe gauche C est supposée n avoir pas de points multiples. Dans cette hypothèse, les surfaces 'Zh sont alors les surfaces arbitraires Sa- de degré k. Les surfaces Sa déterminent donc sur G une série non spéciale et complète i'''* : on a

iii. = n k, /•/, = nie - p

et, par suite, dans ce cas

D'où nous concluons le résultat déjà obtenu au Chapitre VIII du tome P' : le nombre Na des conditions exprimant qu'une surface d'ordre A' passe par une courbe gauche d'ordre n sans points multiples est égal à

Considérons maintenant le cas où la courbe C a des points multiples. Soit a le nombre des points de rencontre d'une Sa avec C confondus aux points I : si ces points sont à tangentes distinctes, on a

;jL = X i ( i — i ) .

Les surfaces Sa déterminent sur C une série non spéciale complète. Or on a

«'^. = nk — ih — u.

L'ordre de cette série est donc nk — a et sa dimension nk — 'J-—p- Désignons par va le nombre des conditions qu'il faut imposer à une Sa pour qu'elle devienne une Sa, c'est-à-dire qui expriment qu'une Sa se comporte aux points I de la manière spécifiée plus haut. La dimension /'a de la série g-'^^). déterminée sur C par toutes

les surfaces Sk d'ordre /.- sera alors

/•/, = kn — \x — p -^^tk= kii—p — ( [-1 — VA-);

et comme nous savons que celte série n'est pas spéciale {k^n — 2), il en résulte que son défaut di^ est

dk = IJ. — VA-,

nombre positif, puisqu'on a évidemment [jl^Va. Or c/a- diminue ou reste constant quand k augmente, donc va ne diminue jamais quand /,• augmente, et, à partir d'une valeur assez grande, garde une valeur constante v. A partir de cette valeur de A, on a toujours le même défaut u — V.

Supposons que les points I soient des points doubles à tangentes distinctes, en nombre 0 : on aura jji = 10. Or va représente le nombre des conditions pour qu'une surface Sa passe par les 0 points, en tout 0 conditions indépendantes, puisque k^n — 2. On a donc va= 0, et par suite