Soit <I>(^) le résultant de o et de 'i

( '2 ) * ( ^ ) = X'J — wh,

et supposons que ^[x) contienne [x — a) à la puissance /. . D'autre part, divisons Ày* par <Ij. et soit n le degré de 6; on aura

(3) ),/=vI. — X

où X est un polynôme en x et j)/", de degré n ■ — i en y au plus.

Si f est susceptible de se mettre sous la forme (i), on conclut immédiatement des relations (a) et (3) Tidentité

(4) X = A*-^6(Ba — Â[JL — v).

Le premier membre est au plus du degré n — i en r, le second membre est au moins du degré n. Les points d'intersection de la courbe X = o avec la droite x — a =^ o se trouvent aux points d'intersection de ^ (B A — A y. — v) = o avec la droite (.r — a) = o, et comme à ne contient pas (x — a) en facteur, le nombre de ces points est au moins égal à n. On en conclut que X, de degré // — ^ I au plus en j>', est divisible par x — et : donc aussi BÀ — Aa — v.

Effectuant la division, et continuant le même raisonnement de proche en proche, on arrive à la conclusion que X est divisible par (x ■ — «)^. Donc finalement X est divisible par <!►.

3. R.éciproquement si X est divisible par O, on pourra metlrey' sous la forme (\). En effet, soit X = P<Ï>, on aura identiquement

donc ). divise le produit ^(v-j- P[J>-)- Or, en vertu de la relation (2), ). et à ne peuvent avoir en commun que des polynômes en ^ seul, ce qui est impossible puisque à n'admet pas de diviseur ne renfer-

(') Nous demandons la permission d'introduire ce mot un peu vieilli, pour ne pas répéter toujours « la manière dont s'i comporte la fonction ».

THEOREME DE NOETHER. 3

manl que .r. Par suite, v -f P'x est divisible par )., el, en enfectuant la division, on obtient pour /' une expression de la forme (i ).

Donc /a condition nécessaire et sujjisanle pour que f soit susceptible cVètre mis sous la forme A'^ -f-B'j/ est que X soit divisible par ^K

i. A cette condition nous allons en substituer une autre relative au comportement de /"dans le voisinage des points («, b) de rencontre des deux courbes o et -l.

Supposons que le point (a, b) soit un point multiple d'ordre /■ pour •!>, d'ordre q pour 'j, avec q^r, et que la droite x = a, qui coupe '1 en /• points confondus en (ci, b), la coupe, en outre, en // — /• autres points simples C|, Co. ..., c,t r, n'appartenant pas à c

A' et B' étant des polynômes d'abord arbitraires, eifectuons la difl'érence

et soit A" — I le degré des termes de moindre degré dans C supposé développé suivant les puissances croissantes de x — a et )' — b. Désignons par l le degré des termes de moindre degré dans le polynôme À [figurant dans ('>■)] supposé développé suivant les mêmes puissances. Nous allons montrer que si X est divisible par <ï>, on pourrcL toujours trouver en chaciue point («, b) des polynômes A' et B' de manière cjue V inégalité

soit satisfaite, et cjue réciprociuement, si l'on peut déterminer V etB' pour chaque point (a, b) de manière que cette relation soit satisfaite, X sera divisible par $.

o. La première partie de la proposition est évidente, puisque, si X est divisible par <î>, on peut déterminer A et B de manière à avoir identiquement

La réciproque s'établit de la manière suivante : Par une série de calculs analogues à ceux faits précédemment, on arrive à une iden-

tité de la forme

en posant

(7) C = B'X -^ A'[JL --V.

Soit <ï) = (^ — <2 )*<!>', nous allons montrer que X est divisible par [x — af du moment que la relation (G) est satisfaite. Partons de l'identité

(8) X = A'(^- a)^-*'-(- CJ; -f- G'X

dont nous supposerons les deux membres développés suivant les puissances croissantes de {x — a) et [y — b). Par hypothèse, C). commencera par des termes de degré au moins égal k r ^~ 1^ — i , donc à /■.

Les points de rencontre de la droite x^^a avec X=i--o sont aux points de rencontre de cette droite avec la courbe C'i H- C'X = o. Or cette courbe possède déjà, en vertu de l'hypothèse faite, un point d'ordre au moins égal à /• au point (a, b). D'autre part)v, en vertu de la relation (2), s'annule aux points c,, Co, ..., c„,.. Donc la courbe X = o est coupée par la droite x = a en au moins Il points, et comme X est au plus du degré n — i en y, il s'ensuit que X est divisible par x — • a. La démonstration est achevée ainsi, si A' = i .

Si A" >> 1 , on posera X ^ (x — rt)X,, X, étant encore de degré n — I au plus en y, d'où l'on conclut que C'Ji-t-C')v contient i^x — a) en facteur; donc tous les termes homogènes du même degré en {^x — a), {y — ^), et en particulier les termes de C^ d'ordre inféïùeur à / -h A'+ 1 , contiennent x — a en facteur. Or '^ ne contient pas [x — a) en facteur; par suite, on peut écrire

G = (a; — rt) Cl -r- G",

C" étant de degré au moins égal à l + k' — r; en sorte que nous pouvons substituer à la relation (9), la relation

(9) {x — a)Xi= X' (x — a)^- <i>' -^ (ce — a) Ci<b -^ C" 'h -^ IC, d'oîi l'on conclut que C'a -h aC contient (x — a) en facteur

(10) G"'j/ -f- XC'= (x — «)Gi,

TIIKORE.ME DE NOETIIER.

et que C\ commence par des termes de degré au moins égal à A'— /. Or de la relation (6) il résulte /r'-l- />- /•; donc la droite ^■zrra coupe la courbe C, = o au point (a, b) en au moins /• points confondus. Mais C, s'annule aussi aux points (a^c); en effet, de la relation <I> =^ A'i -|- [j.'1i il résulte que si [x,y) se déplace sur la courbe 'bi^x, y) = o dans le voisinage du point («, c), la fonction À contiendra {x — aY en facteur, quand on aura remplacé y — c par son développement en x — «, puisque <ï> contient (x — aY en facteur et que '-^{ci.^ c) ~ o. Donc C, , qui est défini par la relation (lo), contiendra ix — aY~^ en facteur et s'annulera aux points (rt, c); on en conclut finalement que la courbe

Xi^- A'(.r — r//-' *' -G,'!/ — C;=^ o,

qui est de degré au plus égal k n — i en y, est coupée par la droite x =^ a en n points au moins, donc que X, est divisible ]iar ix ■ — a).

La démonstration est achevée si A' = 2.

Si k ~> 2, on continuera le même mode de raisonnement, sans ([u'il y ait rien à y changer.

Ainsi, en définitive, X sera divisible par <ï>, et par suite f sera susceptible de se mettre sous la forme K's, -^ B'I/, si en chaque point (a, b) de rencontre des courbes o et 'l on peut déterminer des polynômes A' et B' tels que la différence f — A'cp — B''^ ordonnée suivant les puissances croissantes de {x — a) et i^y — b) commence par des termes d^ ordre A'— i satisfaisant à l^ inégalité

6. Cette relation est susceptible d'une forme plus simple dans le cas où les deux courbes ç; et 'Ij n'ont pas de tangentes communes en leurs points de rencontre, c'est-à-dire dans le cas où A rzr qr. Reprenons la relation

* = À'^ — [ri ou

en mettant en évidence les termes homogènes de même degré, dans le développement suivant les puissances croissantes de > X — a) et (y — b). Si <1> contient [x — aY en facteur, le second

fi CHAPITRE 1.

membre doit commencer par un terme en (a* — ay. Si donc / ~\- q <^ k, on devra avoir

et comme ç^ et .!/,■ sont premiers entre eux, on aura

a étant un polynôme.

Mais on peut écrire

et alors nous avons une forme analogue pour <ï>, mais dans laquelle le degré de A a augmenté d'une unité. On peut donc faire en sorte que l ^- q^ k.

Dans ces conditions, si l'on peut déterminer A' et B' de manière que

(II) A-' -^ 1 1' r — ^ — I

la relation (G) sera satisfaite.

7. Voici encore une remarque intéressante. La fonction / étant de la forme A'»:; -hB'L, désignons par u, /«, n les degrés respectifs de/, C2, 'h et supposons que les termes homogènes de plus haut degré, o,„ et 'l,,-, dans o et 6, soient sans facteurs communs. Dans ce cas, on peut toujours faire en sorte que A et B soient d'ordre \x — m el \x. — n.

Supposons, en effet, que A et B soient de degrés respectifs <j. — tn -|- p et [JL — n -h p et désignons par Ap.,„^p, B^ „^p l'ensemble des termes homogènes de plus haut degré, on devra avoir

^ij.— rri-^Çi'-? m ~' i^u.— «4-p V" ^^ ^'

donc, en désignant par a un polynôme,

D'où Ton conclut en écrivant/ sous la forme

/=(A — ad^)o-T- (B — ao)6,

que les degrés des coefficients de cp et •} peuvent être diminués

TIIEOIIKMK DK NOKTIIICK.

(l'une unité au moins. Continuant ainsi de proche en proclie. on arrive ainsi au résultat annoncé.