DKS SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES DANS IN PLAN
D'ailleurs, on a cvidcmmentv = /?, puisque, aux points de rcnconlre de
avec la courbe
en nombre /?, correspondent les points de rencontre de
stF-^ 3* + Y y = o avec
AX H- BY -^ CZ = o.
De plus, dans le plan i'^', j', z-), le réseau
est un réseau linéaire de courbes de genre zéro, puisque cette courbe est évidemment unicnrsale.
11. Nous allons faire une application des résultats (|ui précèdent à Télude des surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales ( ' ). Tout d'abord, on voit aisément c\n' une telle surface est unicursale et peut être représentée par des équations de la foi'me
■^=/i('A3,Y), ^=y-(a. 3,Y), z=f,U,^ri).. / =/a'A P, ï)-
Prenons en elTet sur la surface suj)posée d'ordre tt. n — o points en ligne droite, et par cette droite faisons passer un plan quelconque. Soit À le paramètre variable dont dépend la j^osition du plan. La combe d'intersection de la surface et du plan est unicursale; si donc, dans ce plan, on considère un faisceau d'adjointes d'ordre n — 2 passant parles n — 3 points considérés, ce l'aisceau rencontrera en un seul point mobile la courbe d'intersection, dont les coordonnées seront par consé(juent des fonctions rationnelles du paramètre variable [j. des courbes du faisceau. D'autre part, les coefficients de l'équation du faisceau contiennent rationnellement le paramètre À dont dépend la position du plan; et la conclusion est immédiate.
(') É. Picard, 5m/- les surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales {Bulletin de ta Société pliitomatliique de Paris, 18-8, et Journal de C relie, t. 100).
Envisageons mainlenant, dans le plan (a, ^,v), le système linéaire
Ce système, par liypolhèse, doit être de genre zéro.
Le système linéaire complet (S), défini par le système (S), et dans lequel ce dernier est compris, est de genre zéro et a même degré D que (S).
D'après ce que nous avons dit plus haut, le système complet (S) sera de dimension D -}- i ('), et D sera en outre, comme on le voit de suite, égal au degré n de la surface.
Prenons, dans le plan (a, [i, «O- ^ — ' points arbitraires
(2ti,3i,Yi), (a|,i. ^„,, Y„i)
distincts entre eu\ et différents des points communs aux quatre courbes /. Si ?7i désigne l'ordre des courbes /, nous pouvons trouvei- une courbe d'ordre m appartenant au système (S) et passant par ces points; cette courbe dépendra de deux paramètres et aura une équation de la forme
X U(a, ^, Y) -t- IX V(a, S, y) ^- ^ W(a, {i, y) = o.
Ce réseau est de degré un; il définit par suite une transformation biralionnelle, soit
a = Ui(X,Y,Z), p = \\{X.,\,Z). Y = W,(X, Y,Z).
Les points fondamentaux de cette transformation, dans le plan (a, p, y), sont d'une part les points-bases du système (2) et d'autre part les D — i points fixes (a/, ^i, y,).
En effectuant cette transformation, une courbe arbitraire de (S) se transforme en une partie fixe commune à ioz//e5 les courbes du système, que nous pouvons laisser de côté, et en une partie
(') Dans les Mémoires cités, M. Picard admettait implicitement ce résultat, c'est-à-dire qu'un système complet de genre zéro est régulier : la démonstration en est intuitive, comme on l'a vu au n" 9. M. Guccia a repris depuis, à un tout autre point de vue, l'étude de la réduction des systèmes linéaires de courbes dans plusieurs Mémoires des Rendiconti di Palermo (t. I).
DES SYSTÈMES LI.NKAIRES DE COURBES DANS IN PLAN. Gl
variiible a\ec les paramètres du système (S), soil (S,) F(X, Y,Z) = o.
Quant aux courbes particulirrcs
qui apparliennenL à (S), mais qui passent par les points (a/, Ti/, y,), elles se transforment, en laissant toujours de côté la partie fixe précédente, en une droite arbitraire ÀX + -j.Y -{- vZ = o et en D — I droites fixes distinctes correspondant aux: points fondamentaux (a/, |3,, Y/). Désignant par <Ï>(X, Y, Z) l'ensemble de ces D — i droites, la transformée de (a*) est donc
Or, les courbes (S) et (t) ont D points de rencontre variables, auxquels correspondent évidemment, puisque la courbe générale de (S) ne passe pas par les points (a/, ,j^> Y^), les points de rencontre de la courbe F a\ec la droite ÀX-f- 'j.Y + vZ = o. D'où l'on conclut déjà que la courbe F est de degré D.
D'autre part, la courbe F est la courbe générale d'un svstènK; linéaire de genre zéro, puisque le système (S) est de genre zéro. Elle doit donc avoir un nombre de points multiples fixes équiva-
lent a ? et qui ne peuvent être que les —
points de rencontre des D — i droites distinctes $ = o.
Le point capital à établir maintenant est que les D — i dioilcs formanl <I>, sauf le cas D = 4i passent par un même point O, et, par suite, que la courbe F a en O un point multiple d'ordre D-i.
Prenons en effet une des D — i droites, soit AB, et supposons qu'il V ait sur AB un point multiple d'ordre /), c'est-à-dire (|iie [) — I droites viennent se rencontrer en un même point C de AB. Il reste D — p — i droites qui devront couper AB au même point, car si une des D — p — i droites en question ne coupait pas AB au même point que les autres, ce point serait un point double pour F et il y aurait sur AB un point multiple d'ordre/», un point multiple d'ordre D — p — i, plus un point double, soit en tout
cnAPiTRn: m.
D + I points. 11 y a donc, dans celle hypothèse, sur AB un point C multiple d'ordre D — p.
Mais prenons une droite CD parmi celles qui passent en C. Il j a sur CD, p — i points doubles, plus un point multiple d'ordre D — p, donc en tout D -\- p — 2 points de rencontre avec F, et comme />^2, il faut que p =^ 1 pour que ce nombre ne dépasse
Fis. 5.
pas D. Dans ce cas, nous avons sur AB un point double C et un point C d'ordre D — 2. Mais alors, sur la droite CD, il y aurait D — 2 points doubles, soit •j(D — 2) points de rencontre avec F. Ce nombre n'est inférieur à D que si D = 4, ou D = 3.
D'ailleurs, pour D = 3, il n'y a évidemment pas d'exception. Donc, sauf pour D^ /i, les droites <I>, en nombre D — i, concourent en un même point, et ce point est pour F un point multiple d'ordre D — 1 .
Kevenant maintenant aux fonclionsy'i , f.^-, fi-, //, qui définissent notre surface, elles se transforment en quatre fonctions F,, Fo, F3, F/,, telles que les quatre courbes F/= o (/ = i , 2,3,4) ont en commun un point multiple d'ordre D — i, on peut supposer que ce soit le point X = o, 1.' = o, et la surface est alors représentée par des équations de la forme
^ = Ai(X, Y) + ZBi(X, Y),
jK = A,(X,Y)-f-ZB,(X,Y),
^ = A3(X,Y) + ZB3(X,Yj,
f = Ai(X, Y) + ZBi(X, Y),
oîi les A sont des fonctions homogènes d'ordre D et les B d'ordre D — I , c'est-à-dire que la surface est réglée.
DES SYSTÈMES LINKAIRES HK (.01 RUES DANS IN l>I.\N. 63
Pour D = 4) ^cs trois droites <I> pciivenl former un triangle. La surface est alors représentée par les équations
:r = F,(X. Y, Z), j- =: Fo(X, V, Z ), z ^ V.iX.Y, A), t = ¥.j\,Y/A).
P\çr. 6.
où les F sont des courbes du quatrième ordre avec trois points doubles A, B, C. De telles courbes sont des transformées de coniques, comme on le voit en posant
Les équations de la surface se mettent finalement sous la forme
les A étant des coniques. C'est une surface de Steiner. En résumé :
Les seules surfaces algébriques dont toutes les sections planes sont unicursales sont les surfaces réglées unicursales et la surface du quatrième degré de Steiner (').
