III. — Des involutions sur les courbes algébriques

12. La considération des svstèmes linéaires va se présenter dans l'étude intéressante des involutions sur une courbe algébrique.

Soit, sur une courbe f{x,r) = o, une série de groupes de /? points, tels que cbaque groupe soit déterminé d'une manière unique et sans exception, si Ion en donne A" points. On dira que

(') Ce ihéorème pourrait encore être regardé comme un cas particulier d"une proposition énoncée en i886 par Kronecker : Toute surface algébrique irréductible possédant une double infinité de sections planes réductibles est réglée ou est une surface de Steiner {voir pour la démonstration de ce théorème une Note de M. Castelnuovo Adin%\t% Rendiconti délia Accademia dei Lincei, iSg^).

ces points fornienl une iin'olution d'oidie n et de dimension k ; T^,.

D'après cetLe définition, les n points jouent un rôle symétrique dans la détermination du groupe, c'est-à-dire que si l'on prend A" points au hasard, ces A' points déterminent sans ambiguïté les n — /. autres, ce qui exclut le cas où deux groupes de la série, ayant en commun un ou plusieurs points, en nombre inférieur à A', auraient en conséquence d'autres points communs. Cette circonstance peut d'ailleurs se présenter pour une série de dimensions au moins égale à deux, mais alors la série est formée de groupes dont chacun est composé d'un nombre entier /• >> i de groupes arbitraires d'une même invo/ufion, comprise dans le sens que nous lui avons donné.

Dans le premier ("is, nous dirons que l invohilion est simple et dans le second cas qu'e//e est composée.

Or, considérons une série linéaire g'^^ simple, c'est-à-dire telle que l'obligation de contenir un point n'entraine pas comme conséquence, pour ses groupes, l'obligation de passer par d'autres points déterminés par le premier. Cette série est évidemment une involution 1^'^ simple.

La question suivante se pose alors : Puisque toute série linéaire simple est une involution, réciproquement toute involution simple est-elle une série linéaire?

11 en est bien ainsi lorsque la dimension A" de l'involution est supérieure à un. Mais pour A r= i , il existe des involutions qui ne sont |)as linéaires. Telles sont, par exemple, les séries découpées ])ar les génératrices d'une surface réglée irrationnelle sur les courbes appartenant à la surface.

13. Nous nous proposons donc de montrer qu'une involution simple l,j peut être obtenue linéairement, c'est-à-dire que ses groupes sont ceux que déterminent sur la courbe f des courbes formant un système linéaire, sauf peut-être pour la valeur

( ' ) La démonsli'alion qui suit est due à M. Iluriihcrl ySur quelques points de la théorie des courbes et des surfaces algébriques {Journal de Mathématiques, 189^)].

DES SYSTÈMliS LINÉAIRKS DE COURBES DANS LX PLAN. G5

Soit G(x, , X21 . • ., x,i) un groupe de l'involulion, el soit g(x, y) une fonction rationnelle telle que Tintégrale

relative à la courbe /, soit de première espèce. Formons la

somme

g{xi, yi)dxi-\-. . .-^ gix„, y,i)dxu\

elle peut s'exprimer en fonction des coordonnées et des différen-

lielles de k points du groupe, soient les points (r,, j-,) ^{xk. fh)^

d'où l'équation

(I.) g{^i: yi)dxi^...^ g{x„,y„)dxn^ A, rfr, ^ . . . -f- .\,,dx/„

les A étant des fonctions rationnelles de (^,,1,), ..., (^Xh^yi^).

Des propriétés des intégrales de première espèce, il résulte d'abord que A/ ne dépend que de {xi, yt), puisque l'intégrale

(S) / ki{xi, jTi . . . . , r/,, yi,) dxi

devant être de première espèce est nécessairement de la forme

/ [^K^iC^i, rO -I- ..^:t.i,g,,(Xi,yi)\dxi,

où les gi sont relatifs à p intégrales de première espèce linéairement indépendantes de la courbe /, supposée de genre /?, et où les a sont a priori des fonctions rationnelles de

(^i,7i)> •••■ {xi-uyi-\)^ (^/+i,r/-Hi), ■••, {xk.yk)-

Or ces fonctions ne peuvent être que des constantes, puisque lintégrale (S) doit rester finie quelles que soient ces variables.

Donc Ai est simplement fonction de (xi,Yi). D'autre part, le second membre de (1) doit être svmétrique en {x^^y^). ..., (xii,yh), donc on a

Ai= X(ar-i, jKi), A2= X(:ri,7.2), ..., A^- = A(:r/,, jka).

Mais on peut définir le groupe G au moven de

le premier membre ne change pas, et par suite on a le système P. ET S-, II. 5

d'équations

X ( a?! , j'i ) dx^ = À ( X, , y--i ) dx^ = ... = >. f J^« , j« ) d^n ■

Si ). Il est pas identiquement nul, ces équations, pour un groupe initial Go, délerminent .ro, .... x,i en fonction de x^^ et par suite, on doit avoir A" = i . Le système peut ne pas être linéaire. C'est le cas exceptionnel que nous avons mentionné.

14. Supposons donc /. > i; les A sont identiquement nuls. On aura alors, pour les p intégrales de première espèce gi^ les p équations

(2) giiXu yi)dx^-^...^ gi{Xn,yn)dXn = 0 ( l = 1 , 2, . . . , /)).

Ces équations déterminent sur/" une série de groupes de points dans laquelle notre série sera évidemment comprise. Or, en vertu d'un théorème bien connu, tous les groupes de points vérifiant uniquement les relations (2) sont découpés sur y par des adjointes qui ne rencontrent en outreyqu'en des points fixes. Soit

la série linéaire complète satisfaisant à ces conditions, les o étant, bien entendu, linéairement indépendants sur la courbe : on a

puisque la série des groupes en involution (I) est comprise dans la série déterminée par le système (3), et l'on aura l'involution en assujettissant les ), à /• — /.' relations algébriques et homogènes convenables. 11 faut montrer que ces relations sont linéaires, sous la condition admise que A" points arbitraires de y déterminent un seul groupe de l'involution.

Considérons le système S formé, dans le système linéaire (3), par les courbes de ce système qui découpent survies groupes de l'involution (I). La courbe générale de S est d'abord indécomposable, sinon les groupes de (I) seraient formés de points jouant un rôle dissymétrique, ou bien chaque groupe de (I) se composerait de groupes d'une involution d'ordre inférieur, cas que nous avons écarté.

De plus, par A" points pris au hasard sur / ne passe qu'une

DES SYSTiblES LINÉAIRES DE COURBES DANS IN PLAN. ()7

courbe du système S. Supposons en effet qu'il en passe deux. Ces deux courbes passeraient aussi par les n — k points de / qui, avec les k points primitifs, forment un groupe de I, et comme toutes les courbes de S coupent/ aux mêmes points fixes, on pourrait, en désignant par S, = o, So = o les équations des dcuv courbes trouver une constante 9 telle que S, + 082=0 passât par un nouveau point de/, ce qui nécessite que S, + 882 soit divisible par/. Il existerait alors une combinaison des cp divisible par / ce qui n'a pas lieu.

Ceci posé, deux cas peuvent se présenter. Ou bien par k points quelconques du plan ne passe qu'?^ne courbe du svstème 8, et alors celle-ci est linéaire en vertu du ihéorème démontré plus haut.

Ou bien par /,• points quelconques du plan passe un certain nombre r > i de courbes de S. Prenons k — 1 points quelconques du plan et un point quelconque sur la courbe/. Deux hvpolln'ses pourront encore être faites: On peut supposer que par ces j)oints passent moins de /• courbes distinctes du système ou qu'il en passe /■.

Dans la première hypothèse, deux au moins des courbes passant par les A" points ainsi choisis coïncident, et alors on voit que/ serait l'enveloppe des courbes du système qui passent par /.■ — i points arbitraires du plan, ce qui revient à dire que toutes les courbes du système S touchent / en un ou plusieurs points mobiles. Or chacune de ces courbes ne coupe / qu'en n points mobiles qui constituent un groupe de l'involution, et les [)oints d'un groupe général sont évidemment distincts deux à deux. Cette hypothèse est donc inadmissible.

Dans la deuxième hypothèse, nous distinguerons encore deux cas, suivant que par k — 2 points arbitraires du plan et par deux points de /il passe moins de /■ courbes ou /• courbes de 8. On verrait comme précédemment que le premier de ces deux cas est impossible. On ne peut donc adopter que le second. Et en continuant ainsi de proche en proche, on arriverait à la conclusion que par A- points de /passent plusieurs courbes distincles de 8, ce que nous avons démontré être impossible.

Donc le système 8 est linéaire et le théorème est établi.

15. Comme exemple ôi'involution composée, considérons une série linéaire g'^ non simple, c'est-à-dire telle que tous les groupes qui ont en commun un point arbitraire A,, ont en conséquence p — I autres points communs Ao, ..., Ap. Ces p points jouent d'ailleurs un rôle symétrique, de sorte que les groupes qui passent par A2, par exemple, ont en commun A), A3, . . ., Ap et aucun autre point : ils forment donc une involution simple I' de dimension un. La série g'^^ ainsi définie est une involution composée dont chaque groupe est formé d'un nombre entier k de groupes appartenant à une involution simple Ip, et l'on a

Voici quelques conséquences de celte définition : Supposons qu'une telle série g'^^ soit complète et non spéciale : on a alors

D'autre part, comme /• points arbitraires déterminent un groupe

de la série, on a

k l /•, par suite

et

Donc une série complète et non spéciale est toujours simple si n >> ip. En particulier, les adjointes d'ordre supérieur à tJi — 3, m étant le degré de la courbe /", déterminent une série simple, |Hiisque n est égal au moins à ip — 2 H- m (adjointes d'ordre ni — 2).

Les adjointes d'ordre m — ') peuvent donner naissance à une involution composée.

Il faut pour cela, puisque n ^ ip — 2 et r =^ p — 1 , que l'on

ait

•ip — 2 = A p avec

k^r et

pi->.

d où

Di:S SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES DANS LN PL\N. fig

Par suite, si la série canonique est une involution composée, son groupe est formé d'un nombre p — i d'involutions simples I' d'ordre deux. Considérons alors le système linéaire de toutes les adjointes d'ordre m — 3 qui passent par p — i points fixes de la courbe, elles détermineront une g\ : ce sont des courbes hjperelliptiques, car elles peuvent évidemment être transformées point par point en courbes telles que

Il suffit pour s'en assurer de considérer le faisceau P -h ÀQ = o des adjointes qui déterminent la g!-,.

Réciproquement, il est clair que les courbes byperellipliques y- — R("') = o contiennent une série linéaire gi formée par les droites x = const.

SYSTEMES LINÉAIRES DE SURFACES : SURFACES SOUS-ADJOINTES ET SURFACES ADJOINTES.

i. Nous avons défini, dans le Ciiapitre précédent, les s^'stèmes linéaires de courbes planes par leur comportement en des points donnés du plan, les points-bases, et nous avons insisté sur la manière dont il fallait comprendre cette définition.

Les systèmes linéaires de surfaces, d'ordre donné, sont définis par leurs comportements suivant certaines lignes-bases et en certains points-bases donnés.

Pour les lignes-bases nous supposerons que ce comportement est défini par le comportement, en un point O arbitraire de la ligne-base, de la courbe intersection de la surface par un plan arbitraire passant par le point O.

Quant aux points-bases, que nous désignerons plus particulièrement sous le nom de points-bases isolés, qui sont en nombre fini, et qui peuvent être d'ailleurs soit des points extérieurs aux lignes-bases, soit des points particuliers des lignes-bases, on procédera comme pour les courbes planes. Soit O un de ces points, que nous supposerons être l'origine des coordonnées, après avoir mis les équations des surfaces passant par ces points sous la forme

o = ox{x, y, z) -t- Oi{x,y. z) -^. . ..

OÙ Oi désigne l'ensemble des termes homogènes de degré ?', le comportement de ces surfaces en ces points sera défini par un certain nombre de relations linéaires et homogènes entre les coefficients des cp jusqu'à un certain rang /..