Un système linéaire de surfaces d'ordre donné n sera com
plel on incomplcl suivant que lou considère l'ensemble loul entier ou une partie de l'ensemlile des surfaces d'ordre n se comportant de la manière indiquée aux points-bases donnés et le long des lignes-bases données.
3. En restant toujours dans les hypotlièses bien nettement spécifiées plus haut, envisageons un système linéaire complet de surfaces d'ordre /?, soit |$"|; défini seulement par certaines lignes-bases.
Si l'on considère l'intersection de ce système par un plan général a, on obtiendra ainsi, dans ce plan, un système linéaire de courbes d'ordre n, qui a ses |)oints-bascs au\ |)oints dintersection du ])lan et des lignes-bases, et qui s'y comporte de la manière donnée. IMais ce système de courbes planes pourra être complet ou incomplet. Dans tous les cas, il est contenu dans un système complet 1 F^ [, complètement défini par les points-bases.
4. Etant données des lignes-bases et un comportement défini dans un plan arbitraire, considérons d'une part le système linéaire I O" I ainsi défini, et d'autre part le système linéaire | W" , défini par la condition que ses surfaces se comportent de la manière voulue, le long des lignes-bases, mais seulement dans le [)lan général j)assant par une droite donnée A. Le système | <ï>" | est évidemment compris dans le système | ^F" |, s'il ne coïncide pas avec lui. Nous allons montrer que ces deux systèmes coïncident.
Sur un plan général a de l'espace, les courbes découpées par I <I>" I appartiennent à un système complet de courbes j Y'^ |, et les courbes découpées par | W" \ appartiennent à un système complet |A^|. Supposons que | ^'" | et \^"\ ne coïncident })as, il faudrait que, pour un plan arbitraire a, les comportements de la section correspondante de | ^F" | aux points de rencontre avec les lignesbases exigeassent moins de conditions que pour i^ï^"]. Or les courbes A et r étant de même ordre /z, il faudrait que le degré (nombre des points d'intersection en dehors des points-bases) du système I Al[ j fût supérieur à celui du système 1F^|. Or ces deux systèmes ont même degré : en effet, le degré du premier système est l'ordre de la courbe d'intersection de deux surfaces $, et le degré du second l'ordre de la courbe d'intersection de deux surfaces W; et
ces deux ordres sont égaux, car ces deux courbes coupent en un même nombre de points un plan arbitraire passant par A. Les deux systèmes ] <ï>" | et ] W" | coïncident donc bien.
o. On conclut de la proposition précédente le moyen de construire une surface ayant le comportement voulu le long de lignes-bases données. Envisageons, dans un plan arbitraire passant par une droite fixe A, le système | F^ [ complet de courbes d'ordre n ayant le comportement voulu aux points de rencontre du plan et des lignes-bases. Fixons une de ces courbes au moyen d'un certain nombre de points déterminés rationnellement en fonction du paramètre qui détermine la position du plan. Cette courbe, quand le plan tournera autour de A, engendrera une surface se comportant de la manière voulue le long des lignes-bases. Quant à l'ordre de cette surface, il pourra être supérieur à n, et sera égal à n -f- A , si la droite est une droite multiple d'ordre k de la surface.
6. Revenons aux systèmes de courbes déterminés par V intersection dhin système linéaire de surfaces a^'ec un plan. Nous allons démontrer le théorème suivant (' ) :
Des lignes-bases étant données avec comportement donné, le système linéaire des surfaces d ordre suffisamment élevé.^ passant avec le comportement voulu le long de ces lignes, découpe sur un plan général un système linéaire complet et régulier de courbes.
7. Commençons par établir un lemme relatif aux systèm.es linéaires de courbes planes : Soient i C" | et | C""* ' | deux systèmes complets et réguliers, d'ordres /i et n + i , ayant les mêmes points-bases et le même comportement en ces points. On forme toutes les courbes C"+- composées d'une 0"+' et d'une droite variable; nous allons montrer que le système linéaire IC""*"-], de dimension minimum contenant toutes ces courbes C"+-, est le sys-
{') Ce théorème et la démonstration que nous en donnons sont dus à M. Castelnuovo \Alcune proprietà fondamentali dei systemi lineari di curve tracciati sopra una superficie algebrica {Annali di Matematica, 1897)].
tème complet d'ordre n + 2 défini par les mêmes points-bases elles mêmes comporlements en ces points (|iie les syslèmes primitifs.
Désignons par p„, p„+,, o„^.2 les dimensions des trois systèmes I C" I, I C"+' 1, I C"+- 1, et soient a et b deux droites du plan. Les courbes de j C"+- 1 qui passent par le point de rencontre de rt et 6 forment un système de dimension p,;^.2— i, qui contient, par hypothèse, les deux systèmes oi)tenus en réunissant d'une part les courbes de [ G"+' | à la droite a, et d'autre part les courbes du même système j C"+' | à la droite b. Ces deux syslèmes sont de dimension p«^., et ont en commun le système de dimension p„ obtenu en réunissant les courbes de | C" | aux deux droites a et b. On a donc la relation
Or, en désignant par k le nombre maximum de conditions auxquelles doit satisfaire une courbe algébrique pour passer avec le comportement voulu aux points-bases donnés, on a, puisque les systèmes ] G" 1 et | C"+* | sont réguliers et complets.
« ( rt -f- 3 "> , ( n -^i)( n -r- ^ ) ,.
donc
et par suite
«2 -i- 7 /l -i- 8 ^ ( /t -1- '3 ) ( At -f- J )
Mais la dimension d'un système de couibes d'ordre n-\- 2, ayant
les points-bases et le comportement donnés, est au plus égal à
(/i + 2) (n -I- 5) , , 1 • -^ — A-, donc on doit avoir
et par suite le système \ C"+- 1 est complet et régulier, puisque les deux premiers le sont. Notre lemme est établi.
De ce lemme résulte évidemment que, sous les hypothèses faites, le système de dimension minimum | 0'^+'" [ contenant le système obtenu en formant toutes les courbes composées d'une G"+'
et d'une courbe d'ordre /■ — i fixée arbitrairement est aussi complet.
8. Voici maintenant Ja démonstration du théorème fondamental énoncé au n° 6. Pour un groupe-base donné (lignes-bases et comportement), on peut choisir Tordre n du système des surfaces assez élevé pour que les systèmes complets de courbes | F" | relatifs à un plan sécant arbitraire soient réguliers, et qu'il en soit de même pour les systèmes [F""' | déterminés par les systèmes de surfaces d'ordre n — i. et il en sera de même pour les systèmes d'ordre supérieur. Cela posé, partons d'une position arbilraire, mais fixe, du plan a, et fixons dans ce plan une droite arbitraire^. Considérons le faisceau d'axe g et soit | F" j le système complet de courbes d'ordre n déterminé par les points-bases dans le plan a. On peut, comme nous l'avons vu, construire une surface $''+*, ayant la droite » comme ligne multiple d'ordre /r, qui se comporte de la manière voulue le Ions: des courbes-bases données et dont l'intersection avec le plan a soit une courbe d'ordre n fixée à l avance parmi les courbes du système | F'^ | correspondant.
Répétons la même construction en faisant varier dans le plan de départ aussi bien la droite g que la courbe F initiale. Nous obtiendrons ainsi une infinité de surfaces $"+* qui appartiendront à un système linéaire complet | <ï>"+* [. Toutes les surfaces de ce système se comportent de la manière voulue le long des courbesbases et découpent sur le plan a un système linéaire de courbes d ordre n —r /.", comprenant toute courbe composée d'une F" et de la droite générale g comptée k fois .
En vertu du lemme précédent, ce système de courbes d'ordre 7^ 4- A" est complet et régulier. Donc le système complet |$''+*| découpe sur le plan a un système complet de courbes. La même chose a lieu a fortiori pour tout plan de l'espace et notre théorème est démontré.
9. Ces résultats peuvent s'étendre au cas oii il y a des pointsbases isolés. On peut, en effet, en partant dune surface ^ qui se comporte de la manière voulue le long des courbes-bases données, construire une surface particulière qui satisfasse aux conditions imposées par les points-bases, par exemple en adjoignant
àO, pour chacun de ces points singuliers O, un cùne de sommet O et d'ordre suffisamment élevé. De la sorte, en partant du srstème I (|)H+A- 1 obtenu précédemment, et faisant varier tous les éléments arbitraires, on oi)tient un système linéaire complet [(!>''' j de surfaces d'ordre /?i >- /î + A* qui découpe sur tout plan un système complet et régulier de courbes; on le voit par le même raisonnement.
10. Pour montrer l'intérêt du théorème précédent, indiquons des exemples de svstèmes linéaires de surfaces qui ne découpent ])as sur un plan un système complet et régulier de courbes.
Considérons toutes les surfaces du second degré passant par un groupe-base formé d'un cubique gauche et d'un point A extérieur à cette cubique. Elles déj)endent de deux paramètres et déterminent, sur un plan arbitraire, un système de coniques qui n'est pas le système complet des coniques j)assant par les trois points où la cubique rencontre le plan, car elles doivent passer par un quatrième point fixe, le point double apparent de la perspective de la cubique sur le plan, avec le point de vue A.
Soit, en second lien, le système des quadriques passant par huit points; elles déterminent, sur un plan arbitraire, un système de coniques dépendant d'un paramètre, qui n'est, par conséquent, pas le système complet des coniques du plan.
II. — Sur la dimension d'un système complet de surfaces (* ).
H. Considérons un svstème complet de surfaces d'ordre n, défini par des lignes-bases et des points-bases. Ce système | <î>" | détermine, sur un plan général a, un système de courbes planes ayant un comportement déterminé aux points où a rencontre les lignes-bases. Ce système peut n'être pas complet; il est compris alors dans un système complet [F" | et il a un certain défaut to,,. Le système I F" j peut ne pas être régidier : soit Sn sa surabondance. La dimension o,i du système j F" j sera
k ne dépendant pas de n. Alors le système \^"\ de surfaces dé-
(') Voir Castelnuovo {Mémoire cité diU n" 6).
termine sur a un système de courbes dont la dimension est
On W,, =
Si l'on assujettit une surface <I>" à passer par p„ — co„ + i points i pris arbitrairement dans le plan a (en supposant cela possible), cette sui^face se décomposei'a en le plan a et une surface du système !<!)""' I défini par le même groupe-base. Si donc r„ et r„^ désignent les dimensions des deux systèmes | ^" | et j<ï)"-^' [^ on aura
f'n-l = l'n— (On— W,j+ l).
d'où
( E ) ;•„ — /■„- 1 = '^ -!- hi — w« ( s, 1^0, (o„ £ o ).
Dans le cas où le système |<î>""' | n'existerait pas, on aurait alors ;-„=o,; — to,j, ce qui revient à poser, dans l'expression précé- ' dente, /•«.! = — i •
Cela posé, partons de la plus petite valeur de n pour laquelle
I <ï>" [ existe, et écrivons toutes les égalités (E). Quand n atteint
une certaine valeur /, le système [ F" ] devient régulier, c'est-e\-dire
que s,i est toujours nul. Puis 11 continuant à croître, il arrive une
valeur /^/, à partir de laquelle on a à la fois, 5„ = o, (o„=o,
d'après le théorème fondamental, et alors on a
r„— /•„-i= ; k [Jiûl)-
On a donc les égalités
+ 5^ — -1- Sa+i
ri
ri-i r/-i
CO
SySTÈMKS LINÉAIRES DE SURFACES, ETC. 77
En ajoutant, on obtient la fornuile très intéressante valable pour n supérieur ou égal à l — i
I \ ) r,i = ;; I — kn -^ A- ,
"// W désigne une nouvelle constante [positive ou négative) tpii, comme A\, ne dépend pas de n. Ces deux constantes A' et k' (l(''|)endent du groupe-base; nuiis, tandis que la recherche de k se ramène à un problème de Géométrie plane, la recherche de /.', qui dépend à la fois des lignes-bases et des points-bases, est beaucoup plus difficile.
Comme exemple, considérons le cas particulier où le groupebase se réduit à une courbe simple de degré d, de genre p, avec / |)oints triples. Nous avons vu que le nombre des conditions poiufpi'une surface d'ordre n suffisamment grand passe par cette courbe est égal à
nd — p — •?.? -1- i; doue
/•„ = — I — /ici ^- p -^it — I .
et, par suite,
k — d, k' = it -\- p — \.
12. Connaissant /, et /,', relatifs à un "rouoe-base donné, la formule (A) ne donne la dimension du système des surfaces I <I>" [ que pour n suffisamment grand.
Pour n^l — I, la formule est exacte.
Pour n <^ l — I . il faut ajouter à la valeur (A) la différence
h—n + V /i^ii-+l
et Ton a
(A') /-,;= I— A7H-/,-h 2^ oin— 2d ^'"
Il première somme s'annulant à parlir de /? = / — i , -'t la seconde à partir de /? = / — i .
