III. — Du système linéaire des surfaces sous-adjointes
13. Nous avons déjà défini les surfaces sous-adjointes à une surface donnée f{x,y, z) = o. Une surface cp(a:r,j)', 3) = o est sous-adjointe à y, si une section plane arbitraire de / a pour adjointe la section plane correspondante de la surface cp.
L'ensemble des surfaces sous-adjointes à / d'un ordre donné forme évidemment un système linéaire de surfaces, dont la dimension peut être supérieure ou égale à zéro.
Il existe toujours des surfaces sous-adjointes d'ordre /"^/i — 1, n étant l'ordre de la surface f, puisque telles sont les surfaces polaires des points de l'espace par rapport à/", jointes à une surface d'ordre /■ — n -^ \ .
14. Nous reportant à ce que nous avons dit relativement aux intégrables doubles de première espèce au Chapitre VII du premier Volume, on peut montrer que si o est une sous-adjointe, l'intégrale double
o( .r, V. z) dx dz
If'
est finie à distance finie, sauf peut-être en un certain nombre limité de points singuliers de la surface. Le seul point à établir est évidemment que cette intégrale reste finie en général le long des lignes multiples. Or, sur une ligne multiple, Vx d'un point est une fonction a[z) de z liolomorphe dans le voisinage d'une valeur y, d'ailleurs arbitraire, de ;•. Gela posé, envisageant la section plane /( ^,y, z) = o, l'intégrale
(2) / ■;, '-^^ Jdx
relative à cette courbe restera finie au point multiple, intersection du plan r=G avec la ligne multiple, puisque 'j est une
(') Dans la définition des surfaces sous-adjointes, comme dans celle des surfaces adjointes qui sera donnée dans la Section suivante, nous nous plaçons à un point de vue transcendant entièrement différent du point de vue algébrique de M. Enriques.
adjointe. D'autre part, le quotient -p est susceptible, sur la sur-
face, d'un certain nombre de développements suivant les pui^ssances croissantes fractionnaires de x — ff{~-), soit
On a évidemment a> — i, puisque Tinlégrale (2) doit rester finie, et les coefficients A sont des fonctions holomorjihes de ;. En posant
l'intégrale (1) devient
(Au^^. . .)clu dz,
et, sous celle forme, on voit bien quelle reste finie autour du point « = o, ; = V.
La réciproque est d'ailleurs immédiate. Si l'intégrale (i) reste finie en général le long de toute ligne multiple, la fonction -o définit une sous-adjointe; il faudra, en effet, que l'intégrale
reste finie autour des points de rencontre du plan r = :; avec la ligne multiple, sinon le nombre a, considéré plus liaut, serait < — ^ T, et l'intégrale double ne serait pas finie.
15. Nous avons défini les surfaces sous-adjointes à / par la condition que leurs sections, par des plans arbitraires généraux, soient des adjointes de la section correspondante sur /. On peut se borner, dans la définition, à considérer seulement des sections planes passant par une droite arbitraire donnée.
Soit A une droite occupant, par rapport à la surface, une position arbitraire, la coupant, par exem[)le, en des points distincts; on suppose qu'une surface •!> soit telle que sa section, par un plan général passant par A, soit une adjointe de la section correspondante de/. Il faut montrer qu'un plan général de l'espace coupe 'l suivant une adjointe de la section correspondante de/.
Ce théorème est évident pour les lignes multiples ordinaires.
8o CHAPITRE IV.
Si, par exemple, la surface a une ligne multiple d'ordre [jl, avec des plans tangents en général distincts, la surface à aura certainement cette ligne comme ligne multiple d'ordre pi — i, puisque Jes plans passant par A donnent des adjointes, c'est-à-dire des lignes avec points multiples d'ordre ui. — i . La surface 'l admet donc, en un point général de la ligne multiple, [j. — i plans tangents, d'où la conclusion indiquée.
La proposition est moins immédiate si les lignes multiples sont de nature quelconque. On peut faire le raisonnement de M. Enriques, qui demanderait peut-être à être un peu plus développé.
Nous avons dit qu'il existait toujours des surfaces sous-adjointes d'ordre r^ n — i , soit r = n — 3 -f- p > /r — i . Considérons, d'une part, toutes les surfaces o sous-adjointes d'ordre /', coupant de la manière voulue un plan général de l'espace, et, d'autre part, les surfaces à coupant de la manière voulue seulement un plan général passantpar la droite A. Les surfaces cp et les surfaces -j/ foi'ment deux systèmes linéaires de surfaces, et le système 'h contient le système cp. Il faut montrer que ces deux systèmes coïncident. En effet, si l'on désigne par - le genre d'une section plane générale de f, et, par suite, d'une section plane passant par A, une surface cp coupe, en dehors des lignes multiples, la surface /suivant une ligne y dont l'ordre est égal au nombre des points d'intersection deyavec un plan arbitraire, qu'on peut supposer passer par A; ce nombre est égal à 27: — 2 H-o/i, en vertu de l'hypothèse faite. Il est le même- pour la courbe y' d'intersection d'une surface -y avec f. Les courbes y et y' sont donc de même ordre. Cela posé, un plan quelconque a coupant la surface /' suivant une courbe K, coupera les o suivant un système linéaire de courbes adjointes à K, et les 'h suivant un système linéaire qui contiendra le premier. Or, une courbe de l'un et l'autre système coupe K en stû — i-^-on points en dehors des points multiples. Ces points multiples absorbent donc le même nombre de points de rencontre avec K pour l'un et l'autre système, donc l'intersection des à par un plan arbitraire est une adjointe.
Dans le cas où l'ordre des 'j serait <i n — i . il suffirait d'adjoindre à o un nombre suffisant de plans arbitraires, de manière à avoir un ordre supérieur k n — i , et de répéter le même raisonnement.
SYSTÈMES LINÉAIRES DE SL KFACES, ETC. 8l
16. On peut donner, de la proposition précédente, une d('monslration presque inluilive, avec les intégrales doubles.
On peut supposer que la droite A est à l'infini dans le plan xy\ le faisceau de plans est alors z- = const. Soit un plan arbitraire qu'on peut prendre sous la forme x ^^ x^; l'intégrale
A.r. y, z) r/.r dz
reste finie en général le long des lignes multiples, puisque, par hypothèse, la courbe :i( J",j', ;: ) = o est une adjointe de la courbe f[x^j',z-)=^o. Or, l'intégrale précédente peut s'écrire sous la forme
•:>( T. y, c) 'Iv fJ.r
elle est finie, en général, pour tout point à distance finie; donc
/•^Tr,,. y z) rlv , , . .
^-r ^ (CTo arbitraire)
l'intégrale
relative k f(xQ.y, c) = o est finie pour le voisinage du point multiple considéré de la ligne multiple, et, par suite, la courbe o[Xo, y, Z-) = o est une adjointe de la courhe /(x^, y, z) = o. Le plan a: = .To pouvant être regardé comme un plan arbitraire de l'espace, le théorème est démontré.
17. La dimension d'un système linéaire ] <î>v 1 de surfaces sousadjointes d'ordre v s'obtiendra en appliquant la formule (A) du n" il. Supposons qu'il s'agisse des surfaces dont l'ordre v^/« — 3. m étant l'ordre de la surface /'. Le système des courbes planes déterminé par les 1 ^v | sur un plan général a peut ne pas être complet, mais il est certainement régulier, et l'on a par suite Ï5^= o. Soit- le genre d'une section plane tle la surface, on aura
En désignant, comme précédemment, par l^m — 3 le nombre à P. ET S., II. 6
partir duquel le syslème des courbes planes est complet, on a
fv -4-- lUv -i- T.Uv /"v = ^
— — I — Av H- A ^ > to/,.
en convenant que le terme -to/^ s annule pourvî^/ — i, et les w^ étant les défauts relatifs aux systèmes des adjointes planes d'ordres v-i-i, v-^^t. .... / — i. Dans celte formule, /'désigne une constante indépendante de v.
IV. — Du système linéaire des surfaces adjointes et du genre numérique.
18. Le système des surfaces sous-adjointes est un système de surfaces dont le groupe-base ne contient que des lignes. Il est défini par le comportement d\ine de ses surfaces le long des lignes multiples de la surface donnée f(x, y, z-) = o, de degré m, sans qu'il soit question des points multiples isolés, que peut posséder la surface, par lesquels une surface sous-adjointe arbitraire ne passera pas en général. Lors donc qu'on effectuera une transformation birationnelle, une surface sous-adjointe ne se transformera pas en une surface sous-adjointe, si, à la surface /, correspond une surface F, telle qu'à un point multiple isolé de /correspond sur F une courbe multiple d'ordre au moins égal à deux.
19. Envisageons maintenant les surfaces adjointes d'ordre m — 4 q'^iG nous avons définies au Cliap. ^ II du premier Volume, à propos des intégrales doubles de première espèce. Elles forment un système linéaire, désigné sous le nom de système canonique, de dimension p„ — i ,
1 K I 'J-xq^ir, r, -) -f- a2^,(.r, r, -) -^. • .4- ^p^q^J^, y, -) = o,
dans lequel chaque surface cj d'ordre m — 4 peut servir à former une intégrale double de première espèce
r r q( T, y. z) d.r cl Y
Nous avons vu que le nombre /)o-, genre géométricjue de la surface, était un nombre invariant (t. I, p. igS), c'est-à-dire
svsTÈ.MKs lim:.\ii»i;s ni-: siufacks, ktc. 83
(ju'il est, le Jiiêiiie j)oiir deux, siiihices (|iii se correspoiitlciil hiralioriiielIcnienL cl la même déinoiislia(ion (t. f, p. 20-) élablil V invaiidnce du système canonuiue. Celle invariance est exprimée [) a r l k1 e n 1 1 1 (i
les Q étani les poljnomes adjoints d ordre JM — 4 relatifs à la surface F, supposée de degré M.
Le système |K| appartient évidemment au svslcme des sousadjointes d'ordre m — 4^ mais avec des points-bases en plus. Ce syslème est défini par la condition que sa surface générale se comporte le long des lignes multiples de /comme une sous-adjointe, et auxpoints multiples isolés de manière qu'en ces points l'intégrale (1) reste finie. Cette dernière condition se traduit toujours d'ailleurs par un certain nombre de relations homogènes et linéaires entre les coefficients.
Nous sommes donc bien dans les conditions où nous nous sommes placés au début de ce Chapitre, relativement au comportement dun système de surfaces le long de lignes-bases données et en des points-bases donnés.
20. Nous avons défini les surfaces adjointes d'ordre m — 4 i^'i' moyen des intégrales doubles de première espèce. Des considérations du même genre vont nous permettre, en restant toujours au point de vue transcendant, de définir les surfaces adjointes, à une surface donnée y^, d^ ordre supérieur à m — 4-
On peut d'abord, par une transformation préalable, faire en sorte que la surface f ne présente à l'infini aucune singularité isolée, c'est-à-dire que tous les points multiples isolés soient à distance finie. Cela posé, le poljnome q[x^j',z), d'ordre m — 4 ^ f\ étant le plus général de sori degré, envisageons l'intégrale double
qix, r, ^ ) dx dv
If-
fl
et cherchons les conditions auxquelles ce poljnome q doit satisfaire pour que cette intégrale reste finie et déterminée pour tout
point à distance finie. ISowi arrivons d'abord à la conclusion que la surface </(^, -)-, c) = o doit se comporter le long des lignes multiples comme une sous-adjointe. Quant au comportement en un point multiple isolé O, qne nous supposerons être l'origine des coordonnées, on mettra la fonction fj sous la forme
oîi c3/ désigne l'ensemble des termes homogènes de degré i, et effectuant alors successivement les transformations qui permettent de réduire la singularité, on arrivera nécessairement à un certain nombre de relations linéaires et homogènes entre les coefficjents des Ci jusqu'à un certain rang, et qui seront les mêmes, quel que soit r ordre m — 4 -r- '" '^^ ^<^' fonction cj. ?sous arrivons donc à cette conclusion que les surfaces adjointes forment un système linéaire de surfaces qui se comportent le long des lignes multiples comme les surfaces sous-adjointes et qui, en outre, aux points multiples isolés, se comportent d'une manière déterminée indépendante de leur ordre. Si donc la surface f admet des adjointes d'ordre m — ■ ^, on pourra dire que les adjointes d'ordre m — ■ ^ + r ont le long" des lignes multiples et aux points multiples isolés le même comportement que le svstème canonique [ K j.
Remarquons que nous ne disons rien relativement au comportement des surfaces q à l'infini. En exprimant que l'intégrale (1) reste finie à l'infini, on retomberait sur les adjointes d'ordre m — 4 •
En particulier, si la surface / n'a d'autres singularités que des courbes multiples ordinai/-es d'ordre i et des points multiples isolés ordinaires de l'ordre h. les surfaces adjointes sont déterminées par la condition d'avoir ces lignes comme lignes multiples d'ordre «— J, et ces points comme points multiples d'ordre A — 2.
Le système adjoint et le système sous-adjoint peuvent coïncider. Cela a lieu, par exemple, lorsque la surface/nepossède pas de points multiples isolés, ou lorsque ces points sont d'ordre 2. Il en est de même pour iine surface f qui possède une courbe double et, sur cette courbe, un certain nombre de points multiples
isolés d'ordre h, qui soient d'ordre pour la courbe
double, par exemple un point triple de la courbe double.
SYSTEMES MNKAIIŒS DE SIRFACES, ETC. 8j
21. Rappelons encore une remarque faile (l. I, |). 20-) relative aussi bien aux sous-adjointes qu'aux adjointes. Ces surfaces, en dehors des lignes multiples et des points isolés qu'elles doivent contenir, peuvent encore, de ce fait, passer par certains points simples ou par certaines courbes simples de la surface, du moins tant que leur degré ne dépasse pas une certaine limite. Nous en avons donné des exemples. Voici, sur le même sujet, une observation importante.
Supposons que, considcrant/"et sa transformée F. il v ait sur^" un \io\nl fondamental, cest-à-dire un point simple de la surface qui se transforme en une courbe, courbe exceptionnelle (en général une droite) de la surface F. Soit la courbe A correspondant au point a. Nous allons démontrer que toutes les adjointes d'ordre M — 4 (i^ F passait par A. Supposons le point a à l'origine des coordonnées. Dans leutourage de ce point, :; est une fonction holomorplie de x et y. A un point de la courbe A
correspond une valeur de -, et l'on aura
P et S étant holomorplies en X et \ dans le voisinage du point considéré de A, et S s'annulant pour les points de A. Partons alors de l'identité (a)
des équations (^3) on déduit
D(>, jK) ç. (d? ^ ^ <^S N D(X, Y ) ~ \d\ ,)\ ~ JY d\)'
et l'on en conclut que les adjointes a, (^1 -f-...-|- a^,Q^,= o passent bien par la courbe A.
22. De la définition que nous avons donnée des surfaces adjointes, on peut conclure que le théorème du reste, établi au Chap. I dans le cas des surfaces sous-adjointes, s'étend aux surfaces adjointes. En effet, les surfaces adjointes étant des sousadjointes si l'on désigne par cp, <}, y trois adjointes dont la pre-
86 ceiapitrr: iv.
mirre passe par deux groupes de courbes P et Q, la seconde par P el Q', la troisième par P' et Q, on a l'égalité
Nous pouvons d'ailleurs supposer cjue l'adjointe es ne se comporte pas d'une manière spéciale aux divers points singuliers isolés, c'est-à-dire qu'elle se comporte en chacun de ces points comme une adjointe arbitraire d'un degré suffisamment élevé. Cela posé, nous avons sur la surface, d'après l'identité précédente,
•]/(.r, r, z)-/j.r, y, z) = '^(.r. y, z) cp(.r. r, z).
La surface (j = o, qui est nécessairement une sous-adjointe, doit être de plus une adjointe. Pour montrer qu'il en est bien ainsi, envisageons un point singulier isolé A; on sait cpie le voisinage de ce point sur la surface peut être représenté par un certain nombre de dévelopjiements où x, r', z sont des fonctions holomoiphes de deux paramètres ii et c dans le voisinage de u = o, ç = o. Prenons l'un de ces développements, et considérons l'intégrale double
/* o(.x. y, z) d.r dy
if
On peut écrire, en appliquant un théorème classique de Weierstrass sur la décomposition en facteurs d'une fonction de deux
variables,
(Ir dv V i u. (• ) du c/i'
0(//, (') étant un polynôme en », dont les coefficients sont liolomorphes en r dans le voisinage de v^o\ de plus, P(w,r) et (^(«, r) n'ont pas de facteur commun bolomorphe en u et i', s'annulant pour a = o, c ^ o. D'autre part, soit
cp(.7-, j-, z) = <!>(«, v) :
pour que l'intégrale reste finie, il faudra que ^{u.k-) contienne en facteur Q(?^ v\ Avec plus de précision, si
les q étant des polynômes en u irréductibles, <1> contiendra //i,
SYSTÈMES MNKAIFIES Dr: SURFACES, ETC. 87
fj-ii • • •- 7w t:'î facteur aux puissauces respectives
Les deux fondions
conlientlronl ^, , i^o, . ... q„i cm moins aux puissances respectives UL,, 'j-o, . . ., [J-nii et si l'on pose
on déduit de l'identité
W{u, v) X(u, v) = B(u, v)'l>(ii, r)
(jue B(«, v) contient ^i, q-2, • ■ -, qm aw moins aux puissances u.,, y.2, • ■ ., [-"-«i et, par suite, au moins aux puissances a,, 7.0, .... a,„. Or l'intégrale double
Tr- ?
pouvant s'écrire
B(u, v) P(i(, v) du dv
SI
restera alors finie pour le voisinage de A correspondant au développement considéré; il en est par suite de même des autres, et enfin nous pouvons conclure que
J3('.i:, r, z) = o est une surface adjointe.
23. La dimension ^„i;j^r d'un système linéaire de surfaces adjointes d'ordre v=m — 4 + '" est donnée, comme pour les
sous-adjointes, parla formule
dans laquelle on a
(m — \){in 7)
t: étant le genre d'une section plane de la surface, et k" une constante indépendante de v; en général, le nombre k" est différent du
es niAPITRE IV.
nombre A' qui se présentait dans la formule analogue relatif aux sous-adjointes.
Appliquant la foiuiiule (E) du n" 11, on a
d'où, en tenant compte de la valeur de A", la relation qui nous sera bientôt utile
dans laquelle tu s'annule à partir d'une valeur suffisamment grande de ;•.
24. Considérons en particulier le cas des surfaces adjointes d'ordre /7i — 4? l^^ dimension ^m i est alors égale au genre géométrique de la surface, /?o-, diminué d'une unité; on a donc
h = i-\ (m — i)(m — i)(ni — o) , ,„ v'
Introduisons maintenant un nouveau nombre pni que nous appellerons le genre numérique de la surface, et qui est défini par l'égalité
{m — \){m — i^im — "i) , ,„
/)„— I = -. I — Av -f- A- ;
on a la relation
qui,/?o^ étant déterminé, définit/»^, résultat que l'on énonce de la manière suivante :
La différence entre le genre géométrique et le genre numérique d'une surface f d'ordie m est égale à la somme des défauts des systèmes de courbes découpées sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes à f d' ordre supérieur ou égal à m — 3.
Pour établir V invariance du genre numérique p,,, il suffira
donc d' établir r invariance de la somme 2,^^h- C'est une ques-
lion que nous traiterons dans un Chapitre suivant, après a\oir fait l'étude des systèmes de courbes sur une surface. U égalité fondamentale
P^— Pn— 7 L^''
a été introduite dans la théorie des surfaces par AI. E nriques (' ).
2o. La surface est dite régulière quand on a, pg:=: p,,^ et, dans ce cas, tous les défauts co,„3, (jJ/«2, • • • sont nuls.
Nous allons établir, avec ]M. Castelnuovo (^), que si to,„:j=o et cl),»2 = O5 tous les autres oj seront nuls et par suite que la surl'ace sera régulière. Dans cette hypothèse, les surfaces adjointes d'ordre m — 3 et d'ordre m — •?. déterminent sur un plan des systèmes j F'""-^ I el j F'""^- [ qui sont complets et réguliers, celte dernière propriété appartenant, comme nous l'avons vu, à toutes les adjointes à partir de l'ordre m — 3. Faisons d'abord seulement l'hypothèse i.0ni--2 =^ o : on en conclut, en appliquant le lemme du n" 7, que le système composé d'une courbe F"'~- et d'une droite variable est complet. Or, une surface adjointe <ï>"'~' coupe le plan suivant un svstème linéaire jouissant de la propriété précédente, puisque une <I)'"~' comprend en particulier une O'"'- et un plan; donc le système |$'"^' | découpe sur un plan arbitraire un système complet et régulier, et par suite
on démontrerait de même que tous les autres défauts sont nuls. Ainsi de la seule hypothèse ^ni-i^=^ o, on conclut
Si donc on fait à la fois V hypothèse cO/w 3= o et C hypothèse (L),„o= o, on aura
> to = o.
et la surface sera régulière.
(') Enriques, Introduzione alla Geometria sopra te superficie atgebriche {Mern. delta Societa itatiana d. Scienze, l. X; 1896). (-) Mémoire cité au n° G.
go CHAPITRE IV.
26. En réalité, M. Caslelnuovo a étal)1i [loc. cit.) que la condition cl)„,3 = o suffit pour qu'une surface soit régulière, c'està-dire que cette condition entraîne w,„^,= o. Nous ne démontrerons pas cette élégante proposition et nous ferons seulement, en terminant, la remarque que si (o„,3= o et si la section de f par un plan arbitraire est une courbe normale, la surface sera régulière.
Nous avons vu (Chap. il, n° 21) qu'une courbe plane normale est une couri^e telle rpie la série g',^^ déterminée par les droites du plan soit complète. Soit donc une telle courbe (pie Ton peut supposer n'avoir t[ue des points doubles, et soit cl leur nombre. Nous avons vu que la courbe n'est certainement pas normale, si l'on a
la relation
Nous ne pouvons donc tpie faire les deux l)vj)ollièses
Supposons d'abord qu'il n'j ait pas d'adjointe d'ordre m — 4 ou qu'il n'y en ait qu'une seule, ce qui entraînera nécessairement
La dimension ri„i des adjointes d'ordre ni — 3 est - — i; soit /•la dimension de la série miiiiinuni L, somme de g'f^^ et de g'^T^l^,-, on aura
C'est ce qui résulte de la considération de la série minimum L, quand on l'assujettit à contenir deux points fixes A et B arbitrairement pris sur la courbe. Sa dimension est alors /• — a. D'autre part, elle doit contenir la série linéaire de groupes de points obtenue avec les adjointes d'ordre m — 3 passant par A et les droites passant par B, ce qui donne une série linéaire de dimension r„i:^] on peut avoir une seconde série en intervertissant le rôle des points
. ni -
ni —
SYSTKMKS I.IM;\IRES DK SURI ACES, ETC. () I
A et B. Les deux séries ainsi lroiiv(''CS n'ont d'ailleurs pas de s('rie linéaire commune, puisqu'il n'y a pas d'adjointe d'ordre m — 4 ou qu'il n'y en a qu'une, ne dépendant pas par conséquent de |)arainètres arbitraires.
On a donc l)ien
Or
donc
Mais la dimension du système complet des adjointes d'ordre
m — 2 est a ou 2/?? — 4. IJonc /• ne peut être
supérieur à 'im — 4i et par suite
Le système minimum est donc le système complet. On en déduit que les surlaces adjointes d'ordre m — •>. coupent le plan suivant le système complet : donc (.),„.,—- o.
Supposons maintenant qu'il y ait des adjointes d'ordre m — 4? et en avant toujours
la dimension de ce système d'adjointes sera
£ étant supérieur ou égal à zéro suivant que le système n'est pas régulier ou est régulier. IVoits allons, montier que s =1 o.
La série gi.~^,^,„ délerminée [)ar les adjointes d'ordre m — 4 est contenue dans la série canonique .i??^i.j : il existe par suite un système r(''siduel g'în\ ^^'^ d'après la loi de réciprocité de Brill- Nœiher, on a
•>. ( /• — r ) — m — ( ■> - — "i. — m ) ou
r — /•' —ni — - H- I ,
d'où l'on déduit, en tenant compte des valeurs de /• et de -,
Si donc £ n'était pas nul, la série g'^^ ne serait pas complète, puisqu'il existerait un système ^'iJ(/'> 2), la comprenant. La conclusion est la même que précédemment, le système des adjointes d'ordre m — 4 6st régulier.
On peut appliquer alors le lemme fondamental en partant des adjointes d'ordre m — 4î et la démonstration est immédiate. 11 faut seulement remarquer que, dans le cas de
f (ffi — 3) (m — -2)
cl — 5
la condition : = o nous apprend qu'il n'y a qu'une seule adjointe d'ordre m — 4; ce qui nous ramène au cas précédent.
