DES SYSTEMES LINÉAIRES DE COURBES SLR LES SURFACES

I. — Remarques générales concernant les systèmes linéaires de courbes sur les surfaces.

I. jNous avons déjà parlé clans le premier Volume (Ch. VIll, § III) des sjsLèmes linéaires de courbes tracées sur une surface algébrique /Çx,y,z)^o. Nous nous sommes bornés alors à quelques remarques générales imporLanles que nous allons rappeler succinclement.

Un système linéaire [ G | de courbes sur la surface/" se compose de l'ensemble des courbes d'intersection de la surface /' avec le système linéaire des surfaces

I L I ^(ol-o^ aiLi — . ..4-o:,.L,. = o.

Le système |C| aura même dimension r cpie le système |L|, s'il n'existe aucune relation linéaire entre les L sur la surface /'.

La courbe générale d'un système linéaire peut être réductible ou irréductible. Dans le cas où elle est réductible, elle se composera en général d'une partie fixe et d'une partie variable. Cette partie variable peut, elle-même, être réductible ou non : nous avons démontré que, si elle est réductible, elle se compose nécessairement des courbes d'un faisceau. Si la courbe variable générale est ii^réductible, elle peut d'ailleurs se décomposer jjour certaines relations entre les paramètres a.

La coui'be générale d'un système peut avoir aussi des points fixes, points-bases. On peut toujours supposer que ces points sont des points simples de la surface /, en efiectuant une transformation convenable. Pour la courbe générale du système, ces points peuvent être simples ou multiples.

() i CHAPITRE V.

2. Lorsqu'on parle d'un système linéaire de courbes | C| sur la surfacey"on ne considère en général que ^ensemble des courbes variables. Par système irréductible nous entendrons par conséquent un système dont la courbe variable générale est irréductible, sans nous occuper de la partie fixe, si elle existe. Dans certains cas il y a lieu pourtant, comme nous le verrons, de distinguer les systèmes irréductibles avec ou sans partie fixe.

Rappelons encore que la courbe variable d'un système ne peut pas avoir, en dehors des points-bases, des points multiples qui n'appartiennent pas aux lignes multiples de la surface/", et que les points variables d'intersection doivent décrire la surface tout entière. Le degré n du svstènie est le nombre des points d'intersection variables de deux courbes générales du système : on a /• — I </«, et, pour ;• = I , /i = o. Cette définition du degré suppose naturellement que la dimension du système est supérieure ou égale à un, /-^ i .

Le système est simple si la condition de passer par un point de la surface n'entraîne pas, comme conséquence, pour les courbes du système, l'obligation de passer par d autres points déterminés par le premier.

3. Disons quelques mots relativement aux courbes fondamentales d'un système. Cette notion nous sera utile dans le Chapitre suivant lorsque nous aborderons l'étude des courbes adjointes à un point de vue géométrique. On entend par courbe fondamentale d'un système |C| une courbe qui n'impose oyx'une condition aux courbes de ce système qui peuvent la contenir. Une courbe C assujettie à passer par un point arbitraire d'une courbe fondamentale doit la contenir tout entière, sauf le cas où ce point sérail un point fixe du système [ C |. Une courbe fondamentale n'est donc pas coupée en des points variables par la courbe générale du système, et réciproquement une courlje qui n"a, avec la courbe générale d'un système |C|, aucune intersection variable ne peut être qu'une courbe fondamentale pour ce système. Le système de toutes les courbes C qui contiennent une courbe fondamentale, c'està-dire ce que l'on appelle le système résiduel de la courbe fondamentale par rapport au système |C|, est de dimension ;■ — i, si ;• est la dimension de |C|, comme il résulte de la définition

DES SYSTEMES LINEAIRES IJE COLRCES SLR LES SLRl'ACES. [)J

même. Ce système résiduel aiiia avec la courbe fondamentale des |)oints d'intersection variables.

On dit qu'une courbe fondamentale est />rop/-c ou I inpropre suivant (|iie le svstème résiduel de celte courbe par rapport à |C| a lin i^enre inférieur ou éyal au yenre ~ de la coufbe générale C

•4. Rappelons encore qu'on donne le nom de courbes exceptionnelles aux courbes de la surface qui, par une transforniation birationnelle, peuvent correspondre à des points simples de la surface transformée. Nous avons déjà eu occasion de considérer ces courbes dans le Clia|jitre précédent.

o. On peut, comme nous l'avous vu (ï. i, Clia|t. V 11), obtenir des trauslorinées de la surface considéiée au moven des surfaces qui déterminent le svstème jC|, soit dans l'espace S^, /■ étant la dimension de I C |, soit dans un espace de dimensions moindres. Ce sera, par exemj)le. dans lespace S,-, la surface délinie par

ou, dans l'espace S3, une surface définie [)ar

Les sections planes, ou hvperplanes, d'une transformée ainsi obtenue correspondent aux courbes C du système |C|. Nous aurons souvent à faire usage de pareilles transformations.

Si le système |C| a (\e> courbes fondamentales, à l'une de ces courbes correspondra, sur la surface F transformée que nous venons de définir, un point, en général multiple. Les sections hyperplanes passant parce point correspondront au système résiduel de la courbe fondamentale par rapport à | C|. Leur genre sera donc inférieur ou égal à - suivant que la courbe fonilamenlale sera propre ou impropre.

6. Parmi les systèmes linéaires que l'on peut tracer sur une surface /, il y a lieu de distinguer en particulier ceux qui, étant simples et irréductibles, ne possèdent ni points-bases, ni courbes

gÔ CHAPITRE V.

fondamentales, et qui permettent de transformer la sui^face donnée en une surface sans singularités dans riivperespace, donc en une surface n'avant que des singularités ordinaires dans Tespace à trois dimensions. La question de l'existence de pareils systèmes se rattache étroitement à celle de la réduction des singularités d'une surface algébrique (T. I, Chap. IV), que nous avons traitée précédemment. Que l'on envisage en effet les seize fonctions

PiX,P,X.ViZ,Pi(, (<• = !, 2, 3, 4)

qui nous ont servi (T. I, p. -g) pour transformer une surface y en une surface sans singularités dans l'espace à quinze dimensions, le système

aoPl J' H- ai Po.î" -r- . . . H-2|5 Pi =o

déterminera sur la surface primitive f un système qui n'aura pas de courbes fondamentales propres, puisque si l'une de ces courbes existait elle donnerait lieu à un point multiple.

Il n'est doGC pas douteux, sans entrer dans les détails d'une démonstration minutieuse, qu'on peut toujours, en prenant des sui'faces L, qui déterminent un système |C| d'ordre suffisamment grand, faire en sorte que ce système soit simple, irréductible, sans point-base, sans courbes fondamentales, et qu'il permette de transformer la surface donnée en une surface sans singularités dans riiyperespace, donc en une surface n'ayant que des singularités ordinaires (courbe double et points triples) dans l'espace à trois dimensions. Nous donnerons à un pareil système le nom de système pur et non singulier.

7. Faisons encore quelques remarques essentielles relativement aux transformations bii'ationnelles. Lorsqu'on effectuera sur la surfacey"une transformation birationnelle, le système | C | se transformera en un système |C'|; si le premier système est complet, le second le sera, et il est évident que les principaux caractères du système, à savoir sa dimension r, son degré n, et le genre — de la courbe générale C, supposée irréductible, seront des invariants. Une remarque pourtant est nécessaire relativement aux courbes exceptionnelles, courbes qui correspondent, sur la surface transformée y, à des points simples de/. Si à un point-base O de |C|