DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES SUR LES SURFACES

correspond une courbe exceptionnelle sur/', on ne devra [)as considérer cette courbe comme faisant partie de la courbe transformée C de C, en sorte que C peut être regardée comme le lieu des points correspondants aux points de C, excepté le point O. Mais si le point de /qui donne lieu à une courbe exceptionnelle n'est pas un point-base de |C|, il faudra considérer cette courbe exceptionnelle comme faisant partie de la courbe C transformée de la courbe C qui passe par ce point.

Ces définitions, au premier abord arbitraires, sont choisies, comme nous le verrons plus tard, de façon à pouvoir conservera certains énoncés toute leur généralité.

8. Enfin, si l'on envisage sur la surface^" deux systèmes |C| | et I Co |, le nombre des points d'intersection variables d'une courbe Cj et d'une courbe C2 est aussi un invariant, et la série de groupes de points déterminée par toutes les courbes delC^I, par exemple, sur une courbe générale Ci aura aussi ce caractère. Telle est, en particulier, la scj-ie caractéristique g"^!' ^ d'un système ]C|, qui est découpée sur une courbe C par toutes les autres courbes du svstème.

9. Donnons, axant d'approfondir l'étude des systèmes linéaires, la démonstration d'un théorème que nous n'avions fait qu'énoncer (T. I, p. ig8)etquiva se présenter comme la conséquence presque immédiate de la proposition relative aux involutions établie au Chap. III, n" 13.

Il s'agit de montrer que, sur une surface algébrique, un système algébrique de dimension k de courbes irréductibles qui est tel que par k points arbitraires ne passe cju une seule courbe du système, forme nécessairement un système linéaire, pourvu que k soit supérieur à un.

Soit y(^, y, ^)= o l'équation de la surface S; en la coupant par un plan 3 = ;o> l'équation de la courbe d'intersection sera y'(^, j', ;;o)^= t). Le système algébrique envisagé déterminera sur cette courbe une involution, rentrant dans la catégorie de celles ([ue nous avons étudiées. Elle pourra donc être obtenue par une équation linéaire telle que

gS cnvpiTRr: v.

clans laquelle les o peiivenL a pilori dépendre algébriquement de So- Mais alors, pour des À arbitraires, en faisant varier z-^ et revenant à la valeur initiale, on pourrait obtenir une autre involution, et k points arbitraires de /"i .r.j', r,) j = o appartiendraient à deux groupes. Les cp, ou du moins leurs rapports, contiennent ji donc ^0 rationnellement, et le système algébrique étudié se réduit bien à un système linéaire.

10. Le théorème précédent n'est pas toujours vrai pour /,• =r i , comme le montre l'exemple des surfaces réglées sur lesquelles il existe un système algébrique de géiiératrices, tel que par un point quelconque de la surface ne passe quune courbe génératrice, et qui, en général, n'est pas linéaire.

M. Humbert a montré, comme nous l'avons dit, que le théorème subsiste pour h=i^ lorsque la surface n'a pas d'intégrale de première espèce; et, d'après M. Castelnuovo, il subsiste pour les surfaces régulières (^^^^„), mais la démonstration de ces résultats nous entraînerait trop loin.

11. Le théorème établi au n" 9 est du à M, Enriques; sa démonstration est d'une tout autre nature. Nous nous bornerons à la donner pour le cas de A" = 2.

Fis. 7-

Soit m le nombre des points variables de rencontre de deux courbes quelconques du système. Toutes les courbes du système, passant par un point Ai, passeront par m — i autres points <:/etenninés Ao, .... A,„, car les m — i autres points de rencontre de deux courbes passant par A,, ne peuvent être mobiles, sinon plus de deux courbes du système passeraient par deux points arbitraires.

Donc à chaque point de la surface^correspond un groupe bien

DES SYSTÈMES LINÉAIUES DE COURBES SLR LES SLUFACES. 9<)

délerininé G,« de ni points, et deux tels groupes déterminent une courbe G du système.

Aux groupes G,„, on peut faire correspondre uniformément une surface F, par exemple de la manière suivante : Soit

G/„(^.j, «; ^i, ji,

^ in—\i y in — \: ^m—l)

un groupe arbitraire; prenons trois polynômes quelconques R(T,jr, -), R)(^,:>'', z), Ro(,2:,r, ^), et posons

\= K{x,y,z) -r-R(j",,7'i.^,)4-. . .-T-R(;.r„,i.jK,«-i,-/«-i)= S{x,y,z),

Y = Ki{x,y,z)-\- = S,(x,r, ^),

Z = Ki{x,y,z.)-^ ^ 'èi(x,y,z).

On fait correspondre ainsi à la surface y une surface F (X, \, Z). A chaque point de/" correspond un point de F, et à chaque point

Fig. 8.

de F un groupe G,„ de m points dey'. Au système de courbes sur/ correspond un système de courbes sur F, et ce second système est

Fii

déterminé d'une manière unique par deux points arbitraires ; le degré de ce système est égal à un. Par suite, si l'on considère sur F deux faisceaux du système pivotant autour de O et O', il n'y aura mxuii point de rencontre : la surface F sera unicursale. Soient

ton CHAPITRE V.

a et [i les coefficients angulaires des tangentes OT, O'T'. Les courbes du faisceau correspondent à a = const., '^ = const., c'està-dire à deux systèmes de droites pivotant autour de ù et ù'. Toute courbe C du réseau sur F sera déterminée par une relation homographique entre a et ^, et comme la droite QQ' se correspond à elle-même, cette relation sera du premier degré et non fractionnaire. La courbe C a donc pour correspondante une droite

d'où, sur la surface F, une équation de la forme

AX(X, Y,Z)-hBiJi(X, Y, Z)H-Gv(X, Y, Z) = o.

Il suffit de remplacer X, Y, Z par leurs valeurs en ^,y, z-, et le théorème est démontré.