II. — Des systèmes complets

12. Ces préliminaires étant posés, nous allons, pour faire l'étude des systèmes linéaires de coui^bes sur une surface y, suivre la même marche que pour les séries linéaires de groupes de points sur une courbe (Cliap. II, p. 23). Soit donc un système linéaire fjuelconque de courbes |C| défini sur la surface /{x, y, z)=^ o parle système de surfaces

(L) KoLo-t- aiL, -4- . . .— a,.L,. — o.

Nous avons vu que le théorème du reste relatif aux courbes s'étend aux surfaces. En appliquant ce théorème, nous montrerons d'abord qu'w// système linéaire quelconque |C| peut toujours être obtenu au moyen d'un système linéaire de surfaces sous-adjointes ou de surfaces adjointes d'un ordre suffisamment élevé, assujetties, s'il est nécessaire, à passer par un certain nombre d'éléments fixes (courbes ou points) de lasurface.

Soit C une certaine courbe de | C | déterminée par une surface L' de (L). Par C, faisons passer une sous-adjointe '^', ce qui sera toujours possible en prenant son degré assez élevé ; on obtient ;iinsi une courbe résiduelle F'.

Soit maintenant L une autre surface de (L) qui détermine une

DES SYSTEMES LINEAIRES DE COURBES SUR LES SURFACES. loi

courbe C du système : envisageons le produit

qui s'annule pour C, G' et T'. Cette surface composée passe par l'intersection de/ et L', et l'on a donc, en appliquant le théorème; du reste,

D'où l'on déduit que o est une sous-adjointe, passant par C et r', du même ordre que o' . Par suite, on a, sur la surface S,

L/r'= I-''f; (''= o, I. . . ., /•), donc

'^'(auLo— a, Li-^. . .-^ 7.,.L,.; = L'(ay'-po-h. . .-— y-r'fr),

les surfaces o passant toutes par F', l'ar conséquent, l'équation (L) peut être remplacée par l'équation

(*) ao'fo — • • --r- a,.-^,. — o,

qui détermine comme la première sur S le système linéaire de courbes | C].

Les surfaces sous-adjointes 'Si passent par les points-bases du système 1C[, et elles ont, en ces points, avec la surface y des contacts qui dépendent du comportement des courbes du système. Si le système contient une partie fixe, elles passent par cette partie fixe.

13. Nous nous sommes servis de surfaces sous-adjointes, dans le raisonnement précédent; on peut tout aussi bien employer des surfaces adjointes, puisque le théorème du reste s'applique à ces surfaces. Il résulte d'ailleurs de l'égalité

Lcp'— L'cp =^o,

cjue si cp' est une adjointe, il en est même de o; on n'aurait qu'à reproduire les raisonnements faits au § 22 du Chapitre IV.

Dans la plupart des démonstrations qui vont suivre, on poiirr.i indifféremment employer l'un ou l'autre des deux systèmes de surfaces.

li. Une notion importante est celle de système complet.

Soient [C| et [C'I deux systèmes, que nous supposerons d'abord irréductibles, ayant les mêmes points-bases et même comportement en ces points. Si la courbe générale G' du second est une courbe totale du premier, et si la dimension du premier est supérieure à celle du second, ce second système [ C | sera dit contenu totalement dans le premier. Ces deux systèmes ont évidemment même degré.

Cela posé, un système linéaire irréductible de degré n(n'^o) est complet ou normal, relativement au degré, s'il n'est pas contenu totalement dans un autre système irréductible, de même degré et à un plus grand nombre de dimensions.

lo. Démontrons maintenant un théorème fondamental (' ) : Si un système linéaire irréductible n'est pas complet, il existe un système complet et un seul, qui le contient totalement.

Soit C une courbe générale d'un système linéaire irréductible I C'|. Tout système linéaire contenant totalement C est déterminé par des adjointes d'un certain ordre v, passant par une courbe résiduelle F, et se comportant en outre d'une manière convenable aux points-bases de | C |. Si donc l'on considère toutes les adjointes d'ordre v, linéairement indépendantes, ainsi spécifiées, on obtiendra un certain svstème linéaire | C | de dimension /•^/■', défini par

^0 Ço "+"••• "^ ^r 'f/- = O,

dont le degré sera le degré n du système | C'j. Le système proposé I C'I est nécessairement contenu dans le système | C |, s'il ne coïncide pas avec lui, et tout système contenant totalement | C'| et par suite C sera aussi contenu totalement dans |C|. Le système |C| est donc le système normal ou complet cherché ; il est complètement déterminé et unique.

Ce système complet ne dépend ni de l'ordre des adjointes '::; employées, ni de la courbe C du système j C | d'où l'on part.